6 O tubo A tem comprimento L e uma extremidade aberta. O tubo B tem comprimento 2 L e as duas extremidades abertas. Quais harmônicos do tubo B têm frequências iguais às frequências de ressonância do tubo A ?

Passo 1

O enunciado fala de dois tubos de ar ideais, velocidade do som v:
– Tubo A tem comprimento L, uma extremidade aberta e outra fechada (tubo aberto-fechado).
– Tubo B tem comprimento 2L e ambas extremidades abertas (tubo aberto-aberto).
O objetivo é comparar as frequências de ressonância de A e B para ver quais harmônicos de B coincidem com as ressonâncias de A.

Passo 2

No tubo aberto-fechado (A) o modo fundamental corresponde a um quarto de comprimento de onda encaixado no tubo, e só aparecem harmônicos de ordem ímpar. As frequências de ressonância são
f_{A,k} = (2k-1)\,\frac{v}{4L} \quad(k=1,2,3,\dots),
isto é,
f_{A,1}=\frac{v}{4L},\; f_{A,2}=3\frac{v}{4L},\; f_{A,3}=5\frac{v}{4L},\dots

Passo 3

No tubo aberto-aberto (B) o modo fundamental cabe meio comprimento de onda no tubo, e aparecem todos os harmônicos inteiros. Como o comprimento é 2L, temos
f_{B,m} = m\,\frac{v}{2\,(2L)} = m\,\frac{v}{4L} \quad(m=1,2,3,\dots),
isto é,
f_{B,1}=\frac{v}{4L},\; f_{B,2}=2\frac{v}{4L},\; f_{B,3}=3\frac{v}{4L},\dots

Passo 4

Para que uma frequência de B seja igual a uma frequência de A deve valer
f_{B,m} = f_{A,k} \;\Longrightarrow\; m\,\frac{v}{4L} = (2k-1)\,\frac{v}{4L} \;\Longrightarrow\; m = 2k - 1,
ou seja, m tem de ser ímpar. Logo os únicos harmônicos de B que coincidem com as ressonâncias de A são aqueles de ordem ímpar.

Resposta

Os harmônicos ímpares do tubo B, isto é, o 1^{\circ}, 3^{\circ}, 5^{\circ}, ···.

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