A EDO
é chamada de equação de Euler. Note que, se
potência de
, tem-se
e
são múltiplos de
. Isto sugere que tentemos
como solução de
.
(a) Mostre que
é uma solução de
se
(b) Ache a solução geral de
(a) Mostre que
(b) Ache a solução geral de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial chamada Equação de Euler, que é assim:
O exercício quer que a gente mostre que, se a gente tentar uma solução do tipo
, isso vai funcionar se
satisfizer uma certa equação quadrática. Além disso, na parte (b), vamos precisar usar isso para encontrar a solução geral de uma equação específica. Para resolver, vamos precisar entender um pouquinho de equações diferenciais e como supor soluções do tipo potência.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar inserir
na equação de Euler. Isso significa que a gente vai calcular as derivadas de
e substituir na equação para ver o que acontece.
Vamos lá:
A primeira derivada de
em relação a
é:
A segunda derivada é:
Passo 3
Agora, vamos substituir
,
e
na equação de Euler:
Substituindo:
Simplificando cada termo:
Passo 4
Agora, podemos fatorar
da expressão:
Como
nunca é zero para
, a gente precisa que o que está dentro dos colchetes seja igual a zero:
Simplificando:
Passo 5
Então, mostramos que
é uma solução da equação de Euler se e somente se
satisfaz a equação quadrática:
Isso responde a parte (a) do exercício!
Passo 6
Agora, vamos para a parte (b). A equação dada é:
Aqui, temos
e
. Vamos usar o que aprendemos para encontrar a solução geral.
Primeiro, encontramos a equação característica substituindo na fórmula que obtivemos:
Simplificando:
Passo 7
Vamos resolver essa equação quadrática para achar os valores de
. A gente pode usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
,
. Substituindo:
Então, temos duas soluções para
:
Passo 8
Com os valores de
encontrados, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Como os valores de
são distintos, a solução geral é uma combinação linear das soluções individuais:
Onde
e
são constantes que dependem das condições iniciais.
Resposta
A solução geral da equação
para
é: