A EDO t^2 y^prime prime+alpha t y^prime+beta y=0(^*) é chamada de equação de Euler. Note que, se y=t^r potência de t, tem-se t^2 y^prime prime ; t y^prime e y são múltiplos de t^r. Isto sugere que tentemos y=t^r como solução de ( ^*).
(a) Mostre que y=t^r é uma solução de (^*) se r^2+(alpha-1) cdot r+beta=0, forall t>0
(b) Ache a solução geral de t^2 cdot y^prime prime+5 t cdot y^prime-5 y=0, forall t>0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial chamada Equação de Euler, que é assim:
t^2 y'' + alpha t y' + beta y = 0
O exercício quer que a gente mostre que, se a gente tentar uma solução do tipo y = t^r , isso vai funcionar se r satisfizer uma certa equação quadrática. Além disso, na parte (b), vamos precisar usar isso para encontrar a solução geral de uma equação específica. Para resolver, vamos precisar entender um pouquinho de equações diferenciais e como supor soluções do tipo potência.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar inserir y = t^r na equação de Euler. Isso significa que a gente vai calcular as derivadas de y e substituir na equação para ver o que acontece.
Vamos lá:
A primeira derivada de y em relação a t é:
y' = ddt(t^r) = r t^r-1
A segunda derivada é:
y'' = ddt(r t^r-1) = r (r-1) t^r-2

Passo 3

Agora, vamos substituir y , y' e y'' na equação de Euler:
t^2 y'' + alpha t y' + beta y = 0
Substituindo:
t^2 cdot [r (r-1) t^r-2] + alpha t cdot [r t^r-1] + beta cdot t^r = 0
Simplificando cada termo:
r (r-1) t^r + alpha r t^r + beta t^r = 0

Passo 4

Agora, podemos fatorar t^r da expressão:
t^r [r (r-1) + alpha r + beta] = 0
Como t^r nunca é zero para t > 0 , a gente precisa que o que está dentro dos colchetes seja igual a zero:
r (r-1) + alpha r + beta = 0
Simplificando:
r^2 - r + alpha r + beta = 0
r^2 + (alpha -1) r + beta = 0

Passo 5

Então, mostramos que y = t^r é uma solução da equação de Euler se e somente se r satisfaz a equação quadrática:
r^2 + (alpha -1) r + beta = 0
Isso responde a parte (a) do exercício!

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b). A equação dada é:
t^2 y'' + 5 t y' -5 y =0
Aqui, temos alpha = 5 e beta = -5 . Vamos usar o que aprendemos para encontrar a solução geral.
Primeiro, encontramos a equação característica substituindo na fórmula que obtivemos:
r^2 + (5 -1) r -5 = 0
Simplificando:
r^2 + 4 r -5 = 0

Passo 7

Vamos resolver essa equação quadrática para achar os valores de r . A gente pode usar a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4ac 2a
Aqui, a =1 , b =4 , c = -5 . Substituindo:
r = -4 pm raiz16 +20 2 = -4 pm raiz36 2 = -4 pm 6 2
Então, temos duas soluções para r :
r1 = 22 =1 e r2 = -10 2 = -5

Passo 8

Com os valores de r encontrados, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Como os valores de r são distintos, a solução geral é uma combinação linear das soluções individuais:
y(t) = C1 t^1 + C2 t^-5 = C1 t + C2t^5
Onde C1 e C2 são constantes que dependem das condições iniciais.

Resposta

A solução geral da equação t^2 y'' + 5 t y' -5 y =0 para t >0 é:
y(t) = C1 t + C2t^5

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