Use a regra da cadeia para calcular as derivadas parciais. Expresse a resposta em termos das variáveis independentes.
partial fpartial r, partial fpartial t
f(x,y,z)=xy+z^2 x=r+s-2t, y=3rt, z=s^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de f em relação a r e t usando a regra da cadeia. A função dada é:
f(x, y, z) = xy + z^2
E as variáveis x , y e z estão definidas em termos de r , s e t :
x = r + s - 2t y = 3rt z = s^2
Então, para encontrar partial fpartial r e partial fpartial t , vamos precisar aplicar a regra da cadeia para derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que f depende de r , s e t através de x , y e z . A regra da cadeia para derivadas parciais nos ajuda a calcular como f muda em relação a r e t considerando essas dependências.
A fórmula geral da regra da cadeia para uma função f(x, y, z) que depende de x , y e z , que por sua vez dependem de outras variáveis, é:
partial fpartial r = partial fpartial x cdot partial xpartial r + partial fpartial y cdot partial ypartial r + partial fpartial z cdot partial zpartial r
E de forma semelhante para partial fpartial t .

Passo 3

Vamos calcular cada uma das derivadas parciais necessárias. Primeiro, as derivadas de f em relação a x , y e z :
partial fpartial x = y partial fpartial y = x partial fpartial z = 2z
Agora, as derivadas de x , y e z em relação a r e t :
Para r :
partial xpartial r = 1 partial ypartial r = 3t partial zpartial r = 0 (porque z = s^2 não depende de r) ã
Para t :
partial xpartial t = -2 partial ypartial t = 3r partial zpartial t = 0 (porque z = s^2 não depende de t) ã

Passo 4

Agora, aplicando a regra da cadeia para partial fpartial r :
partial fpartial r = partial fpartial x cdot partial xpartial r + partial fpartial y cdot partial ypartial r + partial fpartial z cdot partial zpartial r
Substituindo:
partial fpartial r = y cdot 1 + x cdot 3t + 2z cdot 0 Rightarrow partial fpartial r = y + 3tx
Como já temos y = 3rt e x = r + s - 2t , podemos substituir:
partial fpartial r = 3rt + 3t(r + s - 2t) = 3rt + 3rt + 3st - 6t^2 = 6rt + 3st - 6t^2

Passo 5

Agora, vamos calcular partial fpartial t usando a regra da cadeia:
partial fpartial t = partial fpartial x cdot partial xpartial t + partial fpartial y cdot partial ypartial t + partial fpartial z cdot partial zpartial t
Substituindo:
partial fpartial t = y cdot (-2) + x cdot 3r + 2z cdot 0 Rightarrow partial fpartial t = -2y + 3rx
Substituindo y = 3rt e x = r + s - 2t :
partial fpartial t = -2(3rt) + 3r(r + s - 2t) = -6rt + 3r^2 + 3rs - 6rt = 3r^2 + 3rs - 12rt

Resposta

As derivadas parciais são:
partial fpartial r = 6rt + 3st - 6t^2
e
partial fpartial t = 3r^2 + 3rs - 12rt

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