Use a regra da cadeia para calcular as derivadas parciais. Expresse a resposta em termos das variáveis independentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
usando a regra da cadeia. A função dada é:
E as variáveis
,
e
estão definidas em termos de
,
e
:
Então, para encontrar
e
, vamos precisar aplicar a regra da cadeia para derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que
depende de
,
e
através de
,
e
. A regra da cadeia para derivadas parciais nos ajuda a calcular como
muda em relação a
e
considerando essas dependências.
A fórmula geral da regra da cadeia para uma função
que depende de
,
e
, que por sua vez dependem de outras variáveis, é:
E de forma semelhante para
.
Passo 3
Vamos calcular cada uma das derivadas parciais necessárias. Primeiro, as derivadas de
em relação a
,
e
:
Agora, as derivadas de
,
e
em relação a
e
:
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora, aplicando a regra da cadeia para
:
Substituindo:
Como já temos
e
, podemos substituir:
Passo 5
Agora, vamos calcular
usando a regra da cadeia:
Substituindo:
Substituindo
e
:
Resposta
As derivadas parciais são:
e