Use a regra da cadeia para calcular as derivadas parciais. Expresse a resposta em termos das variáveis independentes.
partial Rpartial r, partial Rpartial t
R(x,y)=(3x+4y)^5 x=u^2, y=uv

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função R(x, y) = (3x + 4y)^5 onde x e y são funções de outras variáveis: x = u^2 e y = uv . A gente precisa calcular as derivadas parciais de R em relação a u e v usando a regra da cadeia. Ou seja, vamos encontrar partial Rpartial u e partial Rpartial v . Para isso, vamos precisar entender como as variáveis estão conectadas e aplicar a regra da cadeia corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivada parcial e a regra da cadeia. A derivada parcial de uma função em relação a uma de suas variáveis mostra como a função muda quando apenas essa variável muda, mantendo as outras constantes. A regra da cadeia é uma técnica para calcular a derivada de uma função composta, ou seja, quando uma função depende de outra.
No nosso caso, R depende de x e y , que por sua vez dependem de u e v . Então, para encontrar, por exemplo, partial Rpartial u , vamos derivar R em relação a x e y , e depois multiplicar pelas derivadas de x e y em relação a u .

Passo 3

Vamos calcular partial Rpartial x e partial Rpartial y primeiro.
Dado R(x, y) = (3x + 4y)^5 , a derivada de R em relação a x é:
partial Rpartial x = 5(3x + 4y)^4 cdot 3 = 15(3x + 4y)^4
De forma semelhante, a derivada de R em relação a y é:
partial Rpartial y = 5(3x + 4y)^4 cdot 4 = 20(3x + 4y)^4

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas de x e y em relação a u e v :
Dado x = u^2 :
partial xpartial u = 2u e partial xpartial v = 0
Dado y = uv :
partial ypartial u = v e partial ypartial v = u

Passo 5

Agora, aplicando a regra da cadeia para partial Rpartial u :
partial Rpartial u = partial Rpartial x cdot partial xpartial u + partial Rpartial y cdot partial ypartial u
Substituindo os valores que já encontramos:
partial Rpartial u = 15(3x + 4y)^4 cdot 2u + 20(3x + 4y)^4 cdot v
Podemos fatorar (3x + 4y)^4 :
partial Rpartial u = (3x + 4y)^4 cdot (30u + 20v)

Passo 6

De modo similar, aplicamos a regra da cadeia para partial Rpartial v :
partial Rpartial v = partial Rpartial x cdot partial xpartial v + partial Rpartial y cdot partial ypartial v
Substituindo os valores:
partial Rpartial v = 15(3x + 4y)^4 cdot 0 + 20(3x + 4y)^4 cdot u
Simplificando:
partial Rpartial v = 20u(3x + 4y)^4

Resposta

As derivadas parciais usando a regra da cadeia são:
partial Rpartial u = (3x + 4y)^4 cdot (30u + 20v)
partial Rpartial v = 20u(3x + 4y)^4

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