Use a regra da cadeia para calcular as derivadas parciais. Expresse a resposta em termos das variáveis independentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
onde
e
são funções de outras variáveis:
e
. A gente precisa calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
usando a regra da cadeia. Ou seja, vamos encontrar
e
. Para isso, vamos precisar entender como as variáveis estão conectadas e aplicar a regra da cadeia corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é derivada parcial e a regra da cadeia. A derivada parcial de uma função em relação a uma de suas variáveis mostra como a função muda quando apenas essa variável muda, mantendo as outras constantes. A regra da cadeia é uma técnica para calcular a derivada de uma função composta, ou seja, quando uma função depende de outra.
No nosso caso,
depende de
e
, que por sua vez dependem de
e
. Então, para encontrar, por exemplo,
, vamos derivar
em relação a
e
, e depois multiplicar pelas derivadas de
e
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular
e
primeiro.
Dado
, a derivada de
em relação a
é:
De forma semelhante, a derivada de
em relação a
é:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
e
:
Dado
:
Dado
:
Passo 5
Agora, aplicando a regra da cadeia para
:
Substituindo os valores que já encontramos:
Podemos fatorar
:
Passo 6
De modo similar, aplicamos a regra da cadeia para
:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Resposta
As derivadas parciais usando a regra da cadeia são: