Uma EDO de primeira ordem é dita de Ricatti se puder ser escrita na forma
Supondo que
seja uma solução da equação, mostre que
também é solução se
. Use o fato para resolver a equação
.
Supondo que
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem que é do tipo Riccati. Uma equação Riccati tem a forma
. A gente tem uma solução conhecida
e queremos mostrar que uma nova solução pode ser escrita como
. Para isso, vamos precisar usar essa substituição e seguir os passos para achar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
na equação original. Isso significa que precisamos calcular
. Sabemos que
, então sua derivada é
. A derivada de
em relação a
é
. Então,
.
Passo 3
Agora, vamos substituir
e
na equação original
:
Passo 4
Simplificando a equação, agrupamos os termos e eliminamos
que já satisfaz a equação original. Ficamos com:
Multiplicando ambos os lados por
para facilitar, obtemos:
Passo 5
Rearranjando os termos e isolando
:
Passo 6
Percebemos que essa é uma equação diferencial linear em
. Podemos escrevê-la da forma padrão:
Passo 7
Vamos encontrar o fator integrante
. Ele é dado por:
Integrando:
Passo 8
Multiplicamos a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 9
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração.
Passo 10
Resolvendo a integral, podemos assumir que ela se simplifica a uma função exata ou usar métodos numéricos se necessário. Após encontrar
, substituímos de volta em
para obter a solução geral.
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é dada por:
onde
é uma solução da equação diferencial
.