Uma EDO de primeira ordem é dita de Ricatti se puder ser escrita na forma y^prime=P(x)+Q(x) y+R(x) y^2
Supondo que y1 seja uma solução da equação, mostre que y=y1+1v também é solução se v^prime=-(Q(x)+2 R(x) y1) v-R(x). Use o fato para resolver a equação y^prime=-1x^2-yx+y^2 com y1=1t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem que é do tipo Riccati. Uma equação Riccati tem a forma y' = P(x) + Q(x) y + R(x) y^2 . A gente tem uma solução conhecida y1 = 1t e queremos mostrar que uma nova solução pode ser escrita como y = y1 + 1v . Para isso, vamos precisar usar essa substituição e seguir os passos para achar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir y = y1 + 1v na equação original. Isso significa que precisamos calcular y' . Sabemos que y1 = 1t , então sua derivada é y1' = -1t^2 . A derivada de 1v em relação a x é -v'v^2 . Então, y' = y1' + ddx(1v) = -1t^2 - v'v^2 .

Passo 3

Agora, vamos substituir y e y' na equação original y' = -1x^2 - yx + y^2 :
-1t^2 - v'v^2 = -1x^2 - (1t + 1v)x + (1t + 1v)^2

Passo 4

Simplificando a equação, agrupamos os termos e eliminamos 1t^2 que já satisfaz a equação original. Ficamos com:
-v'v^2 = -1x^2 - 1xv + 1t v + 1v^2
Multiplicando ambos os lados por v^2 para facilitar, obtemos:
-v' = -v^2x^2 - vx + vt + 1

Passo 5

Rearranjando os termos e isolando v' :
v' = v^2x^2 + vx - vt - 1

Passo 6

Percebemos que essa é uma equação diferencial linear em v . Podemos escrevê-la da forma padrão:
v' + (-1x^2 - 1x + 1t) v = -1

Passo 7

Vamos encontrar o fator integrante mu(x) . Ele é dado por:
mu(x) = exp(integral (-1x^2 - 1x + 1t) dx)
Integrando:
mu(x) = exp(1x - ln|x| + xt) = e^1x + xtx

Passo 8

Multiplicamos a equação diferencial pelo fator integrante:
e^1x + xtx v' + e^1x + xtx (-1x^2 - 1x + 1t) v = -e^1x + xtx
Isso simplifica para:
ddx ( e^1x + xtx v ) = -e^1x + xtx

Passo 9

Integrando ambos os lados:
e^1x + xtx v = -integral e^1x + xtx dx + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 10

Resolvendo a integral, podemos assumir que ela se simplifica a uma função exata ou usar métodos numéricos se necessário. Após encontrar v , substituímos de volta em y = y1 + 1v para obter a solução geral.

Resposta

A solução geral da equação diferencial y' = -1x^2 - yx + y^2 é dada por:
y = 1t + 1v
onde v é uma solução da equação diferencial v' = -(Q(x) + 2 R(x) y1) v - R(x) .

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