A EDP
partial^2 upartial x^2+partial^2 upartial y^2=-h, h>0
é chamada equação de Poisson e é usada em problemas envolvendo potencial elétrico. Resolva a equação com as condições
ll u(x, 0)=0, & 00

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para resolver a Equação de Poisson, que é uma equação diferencial parcial usada, por exemplo, para calcular o potencial elétrico em determinadas situações. A equação que temos é:
partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y^2 = -h, h > 0
Além disso, temos algumas condições de contorno:
  • Quando e , .
  • Quando e , .
  • Quando e , .
Para resolver essa equação, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e séries de Fourier. Vamos dar um passo de cada vez!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar uma solução particular partial^2 uppartial x^2 + partial^2 uppartial y^2 = -h que satisfaz a equação inteira, ou seja:
up(x, y) = Ay + C
Como o lado direito é uma constante, uma solução particular simples seria tentar uma função que também seja constante ou que dependa apenas de partial^2 uppartial x^2 = 0 partial^2 uppartial y^2 = 0 . Vamos supor que 0 + 0 = -h 0 = -h depende apenas de up(x, y) = Ay^2 + C , então:
partial^2 uppartial x^2 = 0 partial^2 uppartial y^2 = 2A
Calculando as derivadas:
0 + 2A = -h 2A = -h A = -h2
Substituindo na equação:
up(y) = -h2 y^2
Isso não funciona. Então, precisamos tentar uma forma diferente. Vamos assumir que a solução particular depende de :
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Podemos escolher para simplificar. Então, nossa solução particular é:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada, que é:
partial^2 uhpartial x^2 + partial^2 uhpartial y^2 = 0
Para isso, usamos a separação de variáveis. Assumimos que uh(x, y) = X(x) Y(y) pode ser escrita como:
X''(x) Y(y) + X(x) Y''(y) = 0
Substituindo na equação homogênea:
X''(x)X(x) + Y''(y)Y(y) = 0
Dividindo ambos os lados por Xn(x) = sin(n xpi), n = 1, 2, 3, dots :
lambdan = (npi)^2
Como um lado depende só de Yn(y) = An e^n ypi + Bn e^-n ypi e o outro só de Yn(y) = Bn e^-n ypi , ambos devem ser iguais a uma constante negativa, digamos uh(x, y) = sumn=1^infty Bn sin(n xpi) e^-n ypi . Então temos duas equações:
A solução para que satisfaz as condições de contorno e é:
Correspondente a:
Para , a solução é:
Como tende a infinito, para evitar que a solução “explode”, definimos . Então:
Assim, a solução homogênea fica:

Passo 4

Agora, vamos combinar a solução particular com a homogênea para obter a solução geral:
u(x, y) = up(y) + uh(x, y) = -h2 y^2 + sumn=1^infty Bn sin(n xpi) e^-n ypi
Precisamos determinar os coeficientes 1 = -h2 y^2 + sumn=1^infty Bn sin(n) e^-n ypi usando as condições de contorno.
A condição de contorno Bn = 2n pi [1 - (-1)^n] para u(x, y) = -h2 y^2 + 2pi sumn=1^infty 1 - (-1)^nn sin(n x) e^-n ypi nos dá:
No entanto, devido à complexidade, para simplificar, vamos considerar a expansão em série de Fourier na condição de contorno . Isso implica que os podem ser determinados usando a ortogonalidade das funções seno.
Após alguns cálculos (que envolvem integração e uso das propriedades das séries de Fourier), determinamos que:
Então, nossa solução geral fica:

Resposta

A solução da equação de Poisson com as condições de contorno dadas é:
u(x, y) = -h2 y^2 + 2pi sumn=1^infty 1 - (-1)^nn sin(n x) e^-n ypi

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