A EDP
é chamada equação de Poisson e é usada em problemas envolvendo potencial elétrico. Resolva a equação com as condições
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para resolver a Equação de Poisson, que é uma equação diferencial parcial usada, por exemplo, para calcular o potencial elétrico em determinadas situações. A equação que temos é:
Além disso, temos algumas condições de contorno:
- Quando
e , . - Quando
e , . - Quando
e , .
Para resolver essa equação, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e séries de Fourier. Vamos dar um passo de cada vez!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar uma solução particular
que satisfaz a equação inteira, ou seja:
Como o lado direito é uma constante, uma solução particular simples seria tentar uma função que também seja constante ou que dependa apenas de
. Vamos supor que
depende apenas de
, então:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Isso não funciona. Então, precisamos tentar uma forma diferente. Vamos assumir que a solução particular depende de
:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Podemos escolher
para simplificar. Então, nossa solução particular é:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada, que é:
Para isso, usamos a separação de variáveis. Assumimos que
pode ser escrita como:
Substituindo na equação homogênea:
Dividindo ambos os lados por
:
Como um lado depende só de
e o outro só de
, ambos devem ser iguais a uma constante negativa, digamos
. Então temos duas equações:
A solução para
que satisfaz as condições de contorno
e
é:
Correspondente a:
Para
, a solução é:
Como
tende a infinito, para evitar que a solução “explode”, definimos
. Então:
Assim, a solução homogênea fica:
Passo 4
Agora, vamos combinar a solução particular com a homogênea para obter a solução geral:
Precisamos determinar os coeficientes
usando as condições de contorno.
A condição de contorno
para
nos dá:
No entanto, devido à complexidade, para simplificar, vamos considerar a expansão em série de Fourier na condição de contorno
. Isso implica que os
podem ser determinados usando a ortogonalidade das funções seno.
Após alguns cálculos (que envolvem integração e uso das propriedades das séries de Fourier), determinamos que:
Então, nossa solução geral fica:
Resposta
A solução da equação de Poisson com as condições de contorno dadas é: