Para a EDO:
(1-x^2) y^prime prime-2 x y^prime+2 y=0 (-1<x<1),
(a) Verifique que y1(x)=x é uma solução.
(b) Use redução de ordem para encontrar uma segunda solução y2(x).
(c) Calcule W[y1(x), y2(x)] e discuta o intervalo de validade.

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
(1 - x^2),y'' - 2x,y' + 2y = 0, -1<x<1,
e pede: (a) verificar que y1(x)=x é solução; (b) usar redução de ordem para achar uma segunda solução y2(x); (c) calcular o Wronskiano W[y1,y2] e discutir onde ele não se anula. O conteúdo é EDO linear de segunda ordem e método de redução de ordem.

Passo 2

Para verificar que ,y1(x)=x é solução, calculemos as derivadas:
y1' = 1, y1'' = 0
Substituindo na EDO:
(1-x^2)cdot 0 ;-;2xcdot1;+;2cdot x = -2x + 2x = 0
Logo ,y1(x)=x satisfaz a equação.

Passo 3

Colocamos a equação na forma padrão
y'' + p(x),y' + q(x),y = 0
Dividindo por (1-x^2), obtém-se
y'' - 2x1-x^2,y' + 21-x^2,y = 0,
então
p(x) = -2x1-x^2
Pela redução de ordem, buscamos
y2(x) = y1(x),integral e^-integral p(x),dxy1(x)^2,dx

Passo 4

Calculamos primeiro
integral p(x),dx = integral -2x1-x^2,dx = lnl(1-x^2r),
logo
e^-integral p(x),dx = 11-x^2
O integrando fica
e^-integral p,dxy1^2 = 1(1-x^2),x^2 = 1x^2(1-x^2)
Fazendo frações parciais,
1x^2(1-x^2) = 1x^2 + 1/21-x + 1/21+x,
então
integral dxx^2(1-x^2) = -1x + 12ln!l|tfrac1+x1-xr| + C
Logo
y2(x) = xl(-tfrac1x + tfrac12ln!tfrac1+x1-xr) = -1 + tfracx2ln!tfrac1+x1-x
Podemos reescrever usando arctanh(x)=tfrac12ln1+x1-x, ficando
y2(x)=x,arctanh(x);-;1

Passo 5

O Wronskiano é
W[y1,y2](x) = x & x,arctanh(x)-1 [6pt] 1 & dfracddxl[x,arctanh(x)-1r]
Como
ddxl[x,arctanh(x)-1r] = arctanh(x)+x1-x^2,
segue
W = xl(arctanh(x)+x1-x^2r) -1cdotl(x,arctanh(x)-1r) = x^21-x^2+1 = 11-x^2
Esse determinante só se anula em x=pm1, portanto na reta real a base y1,y2 é válida em (-1,1).]

Resposta

(a) ;y1(x)=x é solução.
(b) ;y2(x)=x,arctanh(x)-1.
(c) ;W[y1,y2](x)=dfrac11-x^2, não nulo em -1<x<1.

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