Exercício . Uma barra de chocolate é produzida e vendida a . Supondo que toda a produção seja absorvida pelo mercado consumidor, que quantidade deverá ser produzida para que o lucro seja máximo?

Passo 1

O enunciado diz que cada barra é vendida a R$ 15,00 e o custo total para produzir e vender q barras é
C(q) = q^3 - 297 cdot q^2 - 1185 cdot q + 4125000
Queremos achar a quantidade q que maximiza o lucro. Para isso precisamos montar a função lucro e otimizar.

Passo 2

A receita obtida ao vender q barras a R$ 15,00 é
R(q) = 15 cdot q
Logo a função lucro pi(q) é receita menos custo:
pi(q) = R(q) - C(q) = 15q - l(q^3 - 297q^2 - 1185q + 4125000r)
Fazendo a subtração, obtemos
pi(q) = -q^3 + 297q^2 + 1200q - 4125000

Passo 3

Para encontrar o máximo, calculamos a derivada primeira e igualamos a zero:
pi'(q)=dpidq=-3q^2+594q+1200
O ponto crítico satisfaz
-3q^2+594q+1200=0

Passo 4

Resolvendo
-3q^2+594q+1200=0 Long<=ftrightarrow 3q^2-594q-1200=0 Long<=ftrightarrow q^2-198q-400=0,
usando a fórmula de Bhaskara:
q=198pmraiz198^2+4cdot4002 =198pmraiz39204+16002 =198pm2022
Isso dá q=200 ou q=-2. Como produção negativa não faz sentido, ficamos com q=200.

Passo 5

Para garantir que é máximo, vemos a segunda derivada:
pi''(q)=ddq(-3q^2+594q+1200)=-6q+594
Em q=200 temos
pi''(200)=-6cdot200+594=-1200+594=-606<0,
ou seja, concavidade para baixo e, portanto, máximo.

Resposta

A produção que maximiza o lucro é de 200 barras.

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