Exercício
. Uma barra de chocolate é produzida e vendida a . Supondo que toda a produção seja absorvida pelo mercado consumidor, que quantidade deverá ser produzida para que o lucro seja máximo?
Passo 1
O enunciado diz que cada barra é vendida a R$
e o custo total para produzir e vender
barras é
Queremos achar a quantidade
que maximiza o lucro. Para isso precisamos montar a função lucro e otimizar.
Passo 2
A receita obtida ao vender
barras a R$
é
Logo a função lucro
é receita menos custo:
Fazendo a subtração, obtemos
Passo 3
Para encontrar o máximo, calculamos a derivada primeira e igualamos a zero:
O ponto crítico satisfaz
Passo 4
Resolvendo
usando a fórmula de Bhaskara:
Isso dá
ou
. Como produção negativa não faz sentido, ficamos com
.
Passo 5
Para garantir que é máximo, vemos a segunda derivada:
Em
temos
ou seja, concavidade para baixo e, portanto, máximo.
Resposta
A produção que maximiza o lucro é de
barras.