Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma representação em série de potências para a função
e descobrir para quais valores de
essa série converge. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e propriedades dos logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da função. Sabemos que
. Então, podemos reescrever
assim:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as séries de potências para
e
. Lembra que a série de Taylor para
em torno de
é:
E para
, a série é:
Passo 4
Substituindo essas séries na expressão de
, temos:
Simplificando:
Passo 5
Vamos combinar as duas séries. Observe que:
Calculando
:
- Se
é ímpar, , então - Se
é par, , então
Portanto, apenas os termos com
ímpar permanecem na série.
Passo 6
Vamos representar
como
para
. Assim, a série fica:
Passo 7
Para finalizar, identificamos a representação em série de potências:
E quanto ao intervalo de convergência, como usamos as séries de
e
que convergem para
, o intervalo de convergência da nossa série também é:
Resposta
A representação em série de potências para
é:
E o intervalo de convergência dessa série é para todos os
tais que
.