Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência. f(x) = ln((1+x)/(1-x)), x ≠ ±1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma representação em série de potências para a função e descobrir para quais valores de essa série converge. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e propriedades dos logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da função. Sabemos que . Então, podemos reescrever assim:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as séries de potências para e . Lembra que a série de Taylor para em torno de é:
E para , a série é:

Passo 4

Substituindo essas séries na expressão de , temos:
Simplificando:

Passo 5

Vamos combinar as duas séries. Observe que:
Calculando :
  • Se é ímpar, , então
  • Se é par, , então
Portanto, apenas os termos com ímpar permanecem na série.

Passo 6

Vamos representar como para . Assim, a série fica:

Passo 7

Para finalizar, identificamos a representação em série de potências:
E quanto ao intervalo de convergência, como usamos as séries de e que convergem para , o intervalo de convergência da nossa série também é:

Resposta

A representação em série de potências para é:
E o intervalo de convergência dessa série é para todos os tais que .

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