Resolva a EDO via variação de parâmetros:
x^2 y^prime prime-x y^prime+34 y=2 x^52, x>0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Cauchy–Euler não homogênea
x^2y''-x,y'+tfrac34y = 2x^5/2, x>0
usando variação de parâmetros. Vamos primeiro achar a solução geral da equação homogênea (assumindo y=x^m) e depois aplicar o método de variação de parâmetros para obter uma solução particular.

Passo 2

Procuramos yh=x^m. Substituindo em
x^2y''-x,y'+tfrac34y=0
vem a equação característica
m(m-1)-m+tfrac34=0 ;;Longrightarrow;; m^2-2m+tfrac34=0 ;;Longrightarrow;; m=2pm12=tfrac32,;tfrac12
Logo
yh=C1x^3/2+C2x^1/2

Passo 3

No método de variação de parâmetros, tomamos como base y1=x^3/2 e y2=x^1/2. Calculamos o wronskiano
W(x)= x^3/2 & x^1/2 tfrac32x^1/2 & tfrac12x^-1/2 =x^3/2cdottfrac12x^-1/2-x^1/2cdottfrac32x^1/2 =-x

Passo 4

Escrevemos f(x)= termo não homogêneo dividido por x^2, ou seja
f(x)=2x^5/2x^2=2x^1/2
As fórmulas para as derivadas das funções variáveis são
u1'=-f(x),y2W(x), u2'=f(x),y1W(x)

Passo 5

Calculamos
u1'=-2x^1/2cdot x^1/2-x =-2x-x=2 Longrightarrow u1=integral2,dx=2x,
u2'=2x^1/2cdot x^3/2-x =-2x^2x=-2x Longrightarrow u2=integral(-2x),dx=-x^2

Passo 6

A solução particular é
yp = u1y1+u2y2 =(2x),x^3/2+(-x^2),x^1/2 =2x^5/2-x^5/2=x^5/2

Resposta

A solução geral da equação é
y(x)=C1x^3/2+C2x^1/2+x^5/2

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