(a) Mostre que a equação
é separável e resolva.
(b) Ache a solução tal que
.
(b) Ache a solução tal que
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede (a) mostrar que ela é separável e resolvê-la, (b) encontrar a solução que satisfaça
. Vamos usar o método de variáveis separáveis, que consiste em reescrever a equação na forma
para então integrar cada lado.
Passo 2
Isolamos
. Partindo de
subtraímos
de ambos os lados e dividimos por
(supondo
) para obter
Passo 3
Separamos as variáveis, agrupando termos em
com
e em
com
:
Passo 4
Integramos ambos os lados:
No lado esquerdo fazemos
,
, logo
No lado direito
Passo 5
Igualando as duas integrais e combinando constantes (
) fica
Portanto
com
constante arbitrária.
Passo 6
Para impor
observamos que a fórmula geral não se estende a
a menos que
, caso em que
Como queremos
, adotamos a solução constante