(a) Mostre que a equação
y+x d yd x=1y
é separável e resolva.
(b) Ache a solução tal que y(0)=1.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
y + x dydx = 1y
e pede (a) mostrar que ela é separável e resolvê-la, (b) encontrar a solução que satisfaça y(0)=1. Vamos usar o método de variáveis separáveis, que consiste em reescrever a equação na forma dydx=f(x),g(y) para então integrar cada lado.

Passo 2

Isolamos dydx. Partindo de
y + x dydx = 1y
subtraímos y de ambos os lados e dividimos por x (supondo xneq0) para obter
dydx = 1xl(1y-yr) = 1-y^2x,y

Passo 3

Separamos as variáveis, agrupando termos em y com dy e em x com dx:
y1-y^2,dy = dxx

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral y1-y^2,dy = integral dxx
No lado esquerdo fazemos u=1-y^2, du=-2y,dy, logo
integral y1-y^2,dy = -tfrac12integral duu = -tfrac12lnlvert urvert + C1 = -tfrac12lnlvert1-y^2rvert + C1
No lado direito
integral dxx = lnlvert xrvert + C2

Passo 5

Igualando as duas integrais e combinando constantes ( C=C2+C1) fica
-tfrac12lnlvert1-y^2rvert = lnlvert xrvert + C Longrightarrow lnlvert1-y^2rvert = -2lnlvert xrvert + C' = lnl(C'',x^-2r)
Portanto
1 - y^2 = Kx^2 Longrightarrow y^2 = 1 - Kx^2 = 1 + Ax^2,
com A=-K constante arbitrária.

Passo 6

Para impor y(0)=1 observamos que a fórmula geral não se estende a x=0 a menos que A=0, caso em que
y^2 = 1 Longrightarrow y=pm1
Como queremos y(0)=1, adotamos a solução constante
y(x)=1

Resposta

y(x)=1

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