Para as EDO’s abaixo, mostre que as funções y1=y1(t) e y2=y2(t) formam um conjunto fundamental de soluções da equação homogênea associada. Após, encontre a solução geral.
y^prime prime+t1-t y^prime+1t-1=2(t-1) e^-t, 0<t<1 ; y1=e^t y2=t.

Passo 1

O enunciado trata da EDO linear de segunda ordem
y''+t1-t,y'-11-t,y=2(t-1)e^-t, 0<t<1,
onde se propõem como soluções do homogêneo associado
y1(t)=e^t, y2(t)=t
Vamos (i) verificar que y1,y2 é um conjunto fundamental de soluções do homogêneo e (ii) usar variação de parâmetros para obter a solução geral da não homogênea.

Passo 2

Calculemos o wronskiano de y1 e y2:
W(t)= y1 & y2[6pt] y1' & y2' = e^t & t[4pt] e^t & 1 =e^tcdot 1 - tcdot e^t =e^t(1-t)
Como em 0<t<1 temos e^t>0 e 1-t>0, segue W(t)neq 0. Logo y1 e y2 são linearmente independentes e formam um conjunto fundamental.]

Passo 3

Para aplicar variação de parâmetros, escrevemos a solução particular na forma
yp=u1(t),y1(t)+u2(t),y2(t),
com as condições auxiliares
u1',y1+u2',y2=0, u1',y1'+u2',y2'=f(t),
em que
f(t)=2(t-1)e^-t
Isto leva às fórmulas
u1'=-y2,f(t)W(t), u2'=y1,f(t)W(t)

Passo 4

Calculemos u1' e então u1:
u1'=-tcdot2(t-1)e^-te^t(1-t) =-2,t(t-1)1-t,e^-2t =2t,e^-2t,
pois t-11-t=-1. Agora
u1=integral 2t,e^-2t,dt
Por partes, com v=2t, dw=e^-2tdt
u1=-(t+tfrac12)e^-2t
(qualquer constante de integração pode ser absorvida na solução homogênea).

Passo 5

Calculemos u2' e então u2:
u2'=e^tcdot2(t-1)e^-te^t(1-t) =2,t-11-t,e^-t =-2e^-t
Integramos
u2=integral -2e^-tdt=2e^-t

Passo 6

A solução particular fica
yp =u1,y1+u2,y2 =-(t+tfrac12)e^-2t,e^t + 2e^-t,t =(t-tfrac12),e^-t
Portanto a solução geral da EDO é
y(t) =C1e^t+C2,t+(t-tfrac12)e^-t,
com C1,C2 constantes arbitrárias.

Resposta

boxedy(t)=C1e^t+C2,t+(t-tfrac12)e^-t, 0<t<1
E e^t,;t formam um conjunto fundamental do homogêneo.

Exercícios relacionados