Questão 1 - Sabendo que o campo vetorial
é conservativo, determine sua função potencial.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a função potencial de um campo vetorial conservativo
. O conteúdo aqui é campos vetoriais conservativos e gradiente, e vamos precisar usar o fato de que, se
, então cada componente de
é uma derivada parcial de
.
Passo 2
Como
, integramos em relação a
tratando
como constantes. Assim,
Passo 3
Passo 4
\varphi(x,y,z) = \int 2xy2z2 ,dx = x2y2z^2 + g(y,z),
Passo 5
]
Passo 6
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
e
.
Passo 7
Agora, diferenciamos essa expressão em relação a
e igualamos a
. Temos
Passo 8
Passo 9
\frac{\partial \varphi}{\partial y} = 2x2yz2 + \frac{\partial g}{\partial y},
Passo 10
]
Passo 11
e pelo campo dado
. Logo,
Passo 12
Passo 13
2x2yz2 + \frac{\partial g}{\partial y} = 2x2yz2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial g}{\partial y} = 0,
Passo 14
]
Passo 15
o que implica
, uma função que depende só de
.
Passo 16
Por fim, diferenciamos em relação a
e igualamos a
. Da expressão
Passo 17
Passo 18
\varphi(x,y,z) = x2y2z^2 + h(z),
Passo 19
]
Passo 20
temos
Passo 21
Passo 22
\frac{\partial \varphi}{\partial z} = 2x2y2z + h’(z),
Passo 23
]
Passo 24
e como
, concluímos
Passo 25
Passo 26
2x2y2z + h’(z) = 2x2y2z \quad\Longrightarrow\quad h’(z) = 0,
Passo 27
]
Passo 28
ou seja,
é constante. Portanto a função potencial é
Passo 29
Passo 30
\varphi(x,y,z) = x2y2z^2 + C,
Passo 31
]
Passo 32
onde
é uma constante arbitrária.