Questão 1 - Sabendo que o campo vetorial F(x, y, z)=(2 x y^2 z^2, 2 x^2 y z^2, 2 x^2 y^2 z) é conservativo, determine sua função potencial.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a função potencial de um campo vetorial conservativo F(x,y,z) = (2xy^2z^2,;2x^2yz^2,;2x^2y^2z). O conteúdo aqui é campos vetoriais conservativos e gradiente, e vamos precisar usar o fato de que, se F = nabla phi, então cada componente de F é uma derivada parcial de phi.

Passo 2

Como partial phipartial x = Fx = 2xy^2z^2, integramos em relação a x tratando y,z como constantes. Assim,

Passo 3

Passo 4

\varphi(x,y,z) = \int 2xy2z2 ,dx = x2y2z^2 + g(y,z),

Passo 5

]

Passo 6

onde g(y,z) é uma “constante” de integração que pode depender de y e z.

Passo 7

Agora, diferenciamos essa expressão em relação a y e igualamos a Fy. Temos

Passo 8

Passo 9

\frac{\partial \varphi}{\partial y} = 2x2yz2 + \frac{\partial g}{\partial y},

Passo 10

]

Passo 11

e pelo campo dado Fy = 2x^2yz^2. Logo,

Passo 12

Passo 13

2x2yz2 + \frac{\partial g}{\partial y} = 2x2yz2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial g}{\partial y} = 0,

Passo 14

]

Passo 15

o que implica g(y,z) = h(z), uma função que depende só de z.

Passo 16

Por fim, diferenciamos em relação a z e igualamos a Fz. Da expressão

Passo 17

Passo 18

\varphi(x,y,z) = x2y2z^2 + h(z),

Passo 19

]

Passo 20

temos

Passo 21

Passo 22

\frac{\partial \varphi}{\partial z} = 2x2y2z + h’(z),

Passo 23

]

Passo 24

e como Fz = 2x^2y^2z, concluímos

Passo 25

Passo 26

2x2y2z + h’(z) = 2x2y2z \quad\Longrightarrow\quad h’(z) = 0,

Passo 27

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Passo 28

ou seja, h(z) é constante. Portanto a função potencial é

Passo 29

Passo 30

\varphi(x,y,z) = x2y2z^2 + C,

Passo 31

]

Passo 32

onde C é uma constante arbitrária.

Resposta

phi(x,y,z)=x^2y^2z^2+C

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