EDOS de Euler-Cauchy
x^{2} y^{\prime \prime}-6 x y^{\prime}+9 y=x^{3}+\cos (x)

Passo 1

O enunciado dá a equação de Euler–Cauchy
x^{2}y'' -6x\,y' +9y = x^3 + \cos(x)
e pede a solução geral y(x). Para resolver, vamos:
  1. encontrar a solução homogênea y_h por y=x^r;
  2. achar uma particular y_{p1} para o termo x^3;
  3. usar variação de parâmetros para o termo \cos(x);
  4. somar tudo para obter a solução geral.

Passo 2

Procuramos y_h=x^r. Substituindo em x^2y''-6xy'+9y=0 dá a equação característica
r(r-1)-6r+9=0 \quad\Longrightarrow\quad r^2-7r+9=0
cuja solução é
r_{1,2}=\frac{7\pm\sqrt{49-36}}{2} =\frac{7\pm\sqrt{13}}{2}.
Logo
y_h = C_1\,x^{\frac{7+\sqrt{13}}{2}} +C_2\,x^{\frac{7-\sqrt{13}}{2}}.

Passo 3

Para o termo x^3 tentamos y_{p1}=Kx^3. Então
y_{p1}'=3Kx^2,\quad y_{p1}''=6Kx,
e
x^2(6Kx)-6x(3Kx^2)+9(Kx^3) =(6K-18K+9K)x^3 = -3K\,x^3.
Queremos -3K\,x^3 = x^3, logo K=-\tfrac13. Assim
y_{p1}=-\tfrac13\,x^3.

Passo 4

Para o termo \cos(x) usamos variação de parâmetros na forma normalizada
y'' -\frac6x y' +\frac9{x^2}y = x+\frac{\cos x}{x^2}.
Denote R(x)=x+\frac{\cos x}{x^2} e as soluções fundamentais y_1=x^{r_1},\,y_2=x^{r_2}. O Wronskiano é
W = y_1y_2' - y_1'y_2 = (r_2-r_1)\,x^{r_1+r_2-1} = -\sqrt{13}\,x^{6}.
A variação de parâmetros dá
y_{p2} = -y_1\int\frac{y_2\,R(x)}{W}\,dx +y_2\int\frac{y_1\,R(x)}{W}\,dx,
ou seja
y_{p2} = -x^{r_1}\!\int \frac{x^{r_2}\bigl(x+\tfrac{\cos x}{x^2}\bigr)}{-\sqrt{13}\,x^6}\,dx + x^{r_2}\!\int \frac{x^{r_1}\bigl(x+\tfrac{\cos x}{x^2}\bigr)}{-\sqrt{13}\,x^6}\,dx,
que são integrais que envolvem potências de x e \cos x.

Passo 5

Somando tudo, a solução geral é
y(x)=y_h + y_{p1}+y_{p2} = C_1\,x^{\frac{7+\sqrt{13}}{2}} + C_2\,x^{\frac{7-\sqrt{13}}{2}} -\tfrac13x^3 + y_{p2}(x),
onde y_{p2}(x) fica expresso pelas integrais de variação de parâmetros do Passo 4.

Resposta

\boxed{ y(x) = C_1\,x^{\frac{7+\sqrt{13}}{2}} + C_2\,x^{\frac{7-\sqrt{13}}{2}} -\frac{x^3}{3} - x^{r_1}\!\int \frac{x^{r_2}(x+\tfrac{\cos x}{x^2})}{-\sqrt{13}\,x^6}\,dx + x^{r_2}\!\int \frac{x^{r_1}(x+\tfrac{\cos x}{x^2})}{-\sqrt{13}\,x^6}\,dx }
com r_{1,2}=(7\pm\sqrt{13})/2.

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