EDOS de Euler-Cauchy
Passo 1
O enunciado dá a equação de Euler–Cauchy
e pede a solução geral
. Para resolver, vamos:
- encontrar a solução homogênea
por ; - achar uma particular
para o termo ; - usar variação de parâmetros para o termo
; - somar tudo para obter a solução geral.
Passo 2
Procuramos
. Substituindo em
dá a equação característica
cuja solução é
Logo
Passo 3
Para o termo
tentamos
. Então
e
Queremos
, logo
. Assim
Passo 4
Para o termo
usamos variação de parâmetros na forma normalizada
Denote
e as soluções fundamentais
. O Wronskiano é
A variação de parâmetros dá
ou seja
que são integrais que envolvem potências de
e
.
Passo 5
Somando tudo, a solução geral é
onde
fica expresso pelas integrais de variação de parâmetros do Passo 4.
Resposta
com
.