Resolva as Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) de 1{ }^{\text {a }} ordem a seguir. \left\{\begin{aligned} \frac{d y}{d x} & =-y \\\ y(2) & =3\end{aligned}\right.
Passo 1
O enunciado dá uma equação diferencial ordinária de primeira ordem com condição inicial. Especificamente:
A EDO: \dfrac{dy}{dx} = -y.
A condição inicial: y(2)=3.
O que se pede: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial em todo domínio apropriado e que respeita a condição inicial dada.
Passo 2
Escolha do método e justificativa rápida (sem complicar): a equação \dfrac{dy}{dx}=-y é separável — isto é, dá para escrever todos os termos em y de um lado e todos os termos em x do outro. Separar variáveis é o modo mais direto e simples aqui. Observação útil: também poderia ser vista como uma EDO linear com coeficiente constante, mas separação é mais direta.
Passo 3
Primeiro passo da separação de variáveis. Partindo de
\frac{dy}{dx} = -y
assume-se y\neq 0 temporariamente (a função identicamente zero, y\equiv 0, também é solução da EDO homogênea; porém não satisfaz a condição inicial y(2)=3, então não nos interessa aqui). Dividindo ambos os lados por y e multiplicando por dx obtemos
\frac{1}{y}\,dy = -1\,dx.
Expliquei: dividir por y é válido desde que y\neq 0; caso y troque de sinal, o tratamento com valor absoluto virá na integração.
Passo 4
Integração dos dois lados. Integramos em relação às suas variáveis:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int -1\,dx.
As integrais são padrão; resultam em logaritmo natural e uma função linear:
\ln|y| = -x + C,
onde C é a constante de integração (um número real arbitrário). Aqui expliquei o porquê do valor absoluto: a primitiva de 1/y é \ln|y|, que cobre tanto y>0 quanto y<0.
Passo 5
Isolando y. Exponenciando ambos os lados para tirar o logaritmo:
|y| = e^{-x + C} = e^{C}\,e^{-x}.
Escrevendo e^{C} como uma constante positiva C_1>0, obtemos |y|=C_1 e^{-x}. Isso implica y = \pm C_1 e^{-x}. Para simplificar a notação é comum escrever a constante arbitrária como C (agora podendo ser qualquer real), obtendo a solução geral
y(x) = C e^{-x},
onde C\in\mathbb{R} é a constante geral da família de soluções. Observação: a solução identicamente nula está incluída aqui com C=0.
Passo 6
Aplicação da condição inicial para determinar C. Substituindo x=2 e y(2)=3 na solução geral:
3 = C e^{-2}.
Resolvendo para C:
C = 3 e^{2}.
Note que C>0 aqui, então não há problema com o valor absoluto anterior.
Passo 7
Verificação rápida (checar que a solução geral satisfaz a EDO). Tomando a solução geral y(x)=C e^{-x} e derivando:
logo a forma geral satisfaz a equação diferencial para qualquer C. Com C=3e^{2} isso continua válido, e a condição inicial também é satisfeita por construção. Boa — está tudo consistente!