EDO’s 2- ordem
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da EDO de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes
Para resolver, vamos decompor a solução em
, onde
é a solução da equação homogênea associada e
é uma solução particular do problema não homogêneo.
Passo 2
A parte homogênea satisfaz
A equação característica é
Resolvendo,
Passo 3
Como as raízes são complexas conjugadas
, a solução complementar é
com
e
constantes arbitrárias.
Passo 4
Para encontrar uma solução particular, usamos o método dos coeficientes indeterminados. O termo não homogêneo é um polinômio de grau 2, então assumimos
com constantes
a determinar.
Passo 5
Calculamos as derivadas de
:
Substituindo na EDO não homogênea:
Isso expande para
Passo 6
Igualamos coeficientes de igual grau em
Da primeira equação vem
dá
Finalmente,
fornece
Passo 7
A solução particular fica
Somando as duas partes, a solução geral é