EDO’s 2- ordem
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+5 y=x^{2}+2 x+1

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes
y'' + 2y' + 5y = x^2 + 2x + 1.
Para resolver, vamos decompor a solução em y(x)=y_h(x)+y_p(x), onde y_h é a solução da equação homogênea associada e y_p é uma solução particular do problema não homogêneo.

Passo 2

A parte homogênea satisfaz
y'' + 2y' + 5y = 0.
A equação característica é
r^2 + 2r + 5 = 0.
Resolvendo,
r = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4\cdot1\cdot5}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2} = -1 \pm 2\,i.

Passo 3

Como as raízes são complexas conjugadas -1\pm2i, a solução complementar é
y_h(x) = e^{-x}\bigl(C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x)\bigr),
com C_1 e C_2 constantes arbitrárias.

Passo 4

Para encontrar uma solução particular, usamos o método dos coeficientes indeterminados. O termo não homogêneo é um polinômio de grau 2, então assumimos
y_p(x) = A\,x^2 + B\,x + C,
com constantes A,B,C a determinar.

Passo 5

Calculamos as derivadas de y_p:
y_p'(x) = 2A\,x + B, \qquad y_p''(x) = 2A.
Substituindo na EDO não homogênea:
2A + 2(2A\,x + B) + 5(A\,x^2 + B\,x + C) = x^2 + 2x + 1.
Isso expande para
5A\,x^2 + (4A + 5B)\,x + \bigl(2A + 2B + 5C\bigr) = x^2 + 2x + 1.

Passo 6

Igualamos coeficientes de igual grau em x\): \[\begin{cases} 5A = 1,\\\\ 4A + 5B = 2,\\\\ 2A + 2B + 5C = 1. \end{cases}
Da primeira equação vem A = \tfrac{1}{5}\]. Substituindo em \(4A+5B=2
4\cdot\tfrac{1}{5} + 5B = 2 \quad\Longrightarrow\quad 5B = 2 - \tfrac{4}{5} = \tfrac{6}{5} \quad\Longrightarrow\quad B = \tfrac{6}{25}.
Finalmente, 2A+2B+5C=1 fornece
2\cdot\tfrac{1}{5} + 2\cdot\tfrac{6}{25} + 5C = 1 \quad\Longrightarrow\quad \tfrac{22}{25} + 5C = 1 \quad\Longrightarrow\quad 5C = \tfrac{3}{25} \quad\Longrightarrow\quad C = \tfrac{3}{125}.

Passo 7

A solução particular fica
y_p(x) = \frac{1}{5}\,x^2 + \frac{6}{25}\,x + \frac{3}{125}.
Somando as duas partes, a solução geral é
y(x) = e^{-x}\bigl(C_1\cos(2x)+C_2\sin(2x)\bigr) + \frac{1}{5}\,x^2 + \frac{6}{25}\,x + \frac{3}{125}.

Resposta

y(x) = e^{-x}\bigl(C_1\cos(2x)+C_2\sin(2x)\bigr) + \frac{1}{5}x^2 + \frac{6}{25}x + \frac{3}{125}.

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