EDO’s 2- ordem
y^{\prime \prime}-y=e^{4} x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea
y'' - y = e^{4}x
Aqui vamos aplicar dois passos: primeiro vemos a solução geral da parte homogênea, depois encontramos uma solução particular por coeficientes indeterminados.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos
y'' - y = 0
A equação característica é
r^{2} - 1 = 0
cuja raízes são r = \pm 1. Logo a solução geral homogênea é
y_{h}(x) = C_{1}e^{x} + C_{2}e^{-x}.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_{p} para
y'' - y = e^{4}x.
Como o termo do lado direito é um polinômio de primeiro grau em x, fazemos o palpite
y_{p}(x) = A x + B.

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_{p}:
y_{p}'(x) = A,\quad y_{p}''(x) = 0.
Substituindo em y'' - y = e^{4}x
0 - (A x + B) = e^{4}x
ou seja
-\,A\,x - B = e^{4}x.
Comparando coeficientes de x e constantes, obtemos
-\,A = e^{4}\quad\Rightarrow\quad A = -\,e^{4},
-\,B = 0\quad\Rightarrow\quad B = 0.
Logo
y_{p}(x) = -\,e^{4}\,x.

Passo 5

A solução geral da equação completa é a soma de y_{h} com y_{p}:
y(x) = C_{1}e^{x} + C_{2}e^{-x} - e^{4}\,x.

Resposta

y(x) = C_{1}e^{x} + C_{2}e^{-x} - e^{4}x.

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