Resolva a EDO x(x+l) y^{\prime \prime}+\left(2-x^{2}\right) y^{\prime}-(2+x) y=(x+1)^{2}

Passo 1

Resumindo, queremos resolver a EDO não homogênea
x(x+1)\,y''+(2 - x^2)\,y' - (2 + x)\,y = (x+1)^2.
O conteúdo envolve primeiro achar a solução geral da homogênea associada e depois um particular por variação de constantes.

Passo 2

Começamos pela homogênea
x(x+1)\,y''+(2 - x^2)\,y' - (2 + x)\,y = 0.
Testando funções simples, encontramos que
y_1(x) = \frac1x
satisfaz a homogênea.

Passo 3

Usamos redução de ordem para achar a segunda solução y_2. Colocando a homogênea em forma padrão
y'' + P(x)\,y' + Q(x)\,y = 0,
com
P(x)=\frac{2 - x^2}{x(x+1)},
a fórmula dá
y_2 = y_1(x)\,\int \frac{e^{-\int P(x)\,dx}}{y_1(x)^2}\,dx.
Fazendo as contas (detalhes omitidos), chega-se a
y_2(x) = e^x.
Logo as soluções fundamentais da homogênea são
y_h(x) = C_1\frac1x + C_2 e^x.

Passo 4

Para um particular y_p usamos variação de parâmetros. Na forma padrão
y'' + P(x)\,y' + Q(x)\,y = S(x),
o termo não homogêneo vale
S(x)=\frac{(x+1)^2}{x(x+1)} = \frac{x+1}{x}.
As fórmulas
U_1'=-\frac{S(x)\,y_2}{W},\quad U_2'=\frac{S(x)\,y_1}{W},
com W=y_1y_2'-y_1'y_2, dão após integração
U_1(x) = -\frac{x^2}{2}, \quad U_2(x) = -e^{-x}.
Portanto
y_p = U_1\,y_1 + U_2\,y_2 = -\frac{x^2}{2}\cdot\frac1x \;+\; (-e^{-x})\cdot e^x = -\frac{x}{2} -1.

Passo 5

Juntando homogênea e particular, a solução geral é
y(x) = C_1\frac1x + C_2 e^x \;-\;\frac{x}{2} -1.

Resposta

\boxed{y(x) = \frac{C_1}{x} + C_2 e^x - \frac{x}{2} -1.}

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