Resolva as EDO’S de 2^{\mathrm{a}} ordem abaixo:
\frac{4}{3} y^{\prime \prime}+7 y^{\prime}-2 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
\frac{4}{3}\,y'' + 7\,y' - 2\,y = 0.
O conteúdo é a técnica da equação característica: vamos reduzir a equação a uma forma padrão, montar o polinômio característico e encontrar suas raízes.

Passo 2

Para simplificar, multiplico ambos os lados por 3 e depois divido por 4, obtendo a forma
y'' + \frac{21}{4}\,y' - \frac{3}{2}\,y = 0.

Passo 3

A equação característica associada é
r^2 + \frac{21}{4}\,r - \frac{3}{2} = 0.
Multiplicando por 4 para eliminar frações, fica
4r^2 + 21r - 6 = 0.
O discriminante é
\Delta = 21^2 - 4\cdot 4 \cdot (-6) = 441 + 96 = 537.
Logo as raízes são
r_{1,2} = \frac{-21 \pm \sqrt{537}}{8}.

Passo 4

Como as raízes r_1 e r_2 são reais e distintas, a solução geral da EDO é
y(x) = C_1\,e^{r_1 x} + C_2\,e^{r_2 x}.

Resposta

y(x) = C_1 \exp\!\Bigl(\frac{-21 + \sqrt{537}}{8}\,x\Bigr) \;+\; C_2 \exp\!\Bigl(\frac{-21 - \sqrt{537}}{8}\,x\Bigr).

Exercícios relacionados