Resolva as EDO’s de Euler-Cauchy abaixo:
x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}+8 y=0

Passo 1

Resumindo: temos a EDO de Euler–Cauchy
x^{2}y''+x\,y'+8y=0.
Esse tipo de equação admite uma solução do tipo y=x^{m}. Vamos usar essa ideia para encontrar a equação característica e depois obter a solução geral.

Passo 2

Assumimos
y=x^{m}.
Então
y' = m\,x^{m-1},
y'' = m(m-1)x^{m-2}.
Substituindo em x^{2}y''+x\,y'+8y=0
x^{2}\bigl[m(m-1)x^{m-2}\bigr]+x\bigl[m\,x^{m-1}\bigr]+8\,x^{m}=0.

Passo 3

Simplificando os fatores x^{m-2}, x^{m-1} e x^{m} (todos não nulos para x\neq0), obtemos a equação em m:
m(m-1)+m+8=0.
Isso simplifica para
m^{2}+8=0.

Passo 4

Resolvendo m^{2}+8=0 temos
m^{2}=-8 \quad\Longrightarrow\quad m=\pm\sqrt{-8}=\pm2\sqrt{2}\,i.
Ou seja, raízes complexas m=0\pm2\sqrt{2}\,i (a parte real é zero e a imaginária \pm2\sqrt{2}).

Passo 5

Para raízes complexas m=\alpha\pm i\beta, a solução geral real é
y=C_{1}\,x^{\alpha}\cos\bigl(\beta\ln x\bigr) +C_{2}\,x^{\alpha}\sin\bigl(\beta\ln x\bigr).
Aqui \alpha=0 e \beta=2\sqrt{2}, logo
y = C_{1}\cos\bigl(2\sqrt{2}\,\ln x\bigr) +C_{2}\sin\bigl(2\sqrt{2}\,\ln x\bigr).

Resposta

y(x)=C_{1}\cos\bigl(2\sqrt{2}\,\ln x\bigr) +C_{2}\sin\bigl(2\sqrt{2}\,\ln x\bigr),
com C_{1} e C_{2} constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados