Resolva as EDO’S de 2^{\mathrm{a}} ordem abaixo:
18 y^{\prime \prime}-\frac{5}{3} y^{\prime}+\frac{1}{2} y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
18\,y'' - \tfrac{5}{3}\,y' + \tfrac12\,y = 0.
O conteúdo que vamos usar é o método da equação característica: substituímos y=e^{r x} para achar as raízes r.

Passo 2

Substituindo y=e^{r x} temos
18\,r^2 e^{r x} - \tfrac{5}{3}\,r e^{r x} + \tfrac12\,e^{r x} = 0
e, como e^{r x}\neq0, obtemos a equação característica
18\,r^2 - \tfrac{5}{3}\,r + \tfrac12 = 0.
Para eliminar frações, multiplicamos ambos os lados por 6, resultando em
108\,r^2 - 10\,r + 3 = 0.

Passo 3

Calculamos o discriminante
\Delta = (-10)^2 - 4\cdot108\cdot3 = 100 - 1296 = -1196,
que é negativo. Assim as raízes são complexas:
r = \frac{10 \pm \sqrt{-1196}}{2\cdot108} = \frac{10 \pm 2\,i\sqrt{299}}{216} = \frac{5}{108} \pm i\,\frac{\sqrt{299}}{108}.

Passo 4

Para raízes r = \alpha \pm i\beta com
\alpha = \frac{5}{108}, \qquad \beta = \frac{\sqrt{299}}{108},
a solução geral da EDO é
y(x) = e^{\alpha x}\bigl(C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x)\bigr).

Resposta

y(x) = e^{\frac{5}{108}x}\!\Bigl(C_1\cos\!\bigl(\tfrac{\sqrt{299}}{108}x\bigr) + C_2\sin\!\bigl(\tfrac{\sqrt{299}}{108}x\bigr)\Bigr),
com C_1 e C_2 constantes arbitrárias.

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