EDOs de segunda ordem lineares(Coeficientes constantes).
Determine a solução geral das equações diferenciais:
y^{\prime \prime}+y=\sin (2 x)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO de segunda ordem linear com coeficientes constantes
y'' + y = \sin(2x).
O conteúdo necessário é: 1) resolver a parte homogênea usando a equação característica e 2) encontrar uma solução particular por coeficientes indeterminados.

Passo 2

A parte homogênea é
y'' + y = 0.
A equação característica associada é
r^2 + 1 = 0,
cuja solução é r = \pm i. Logo, a solução geral da homogênea é
y_h(x) = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x).

Passo 3

Para a parte particular de
y'' + y = \sin(2x),
vemos que a forçante \sin(2x) tem frequência 2, diferente da frequência natural 1 da homogênea, portanto não há ressonância. Usamos o método dos coeficientes indeterminados e postulamos
y_p(x) = A \cos(2x) + B \sin(2x).

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_p:
y_p''(x) = -4A \cos(2x) - 4B \sin(2x).
Substituindo em y''+y=\sin(2x) obtemos
y_p'' + y_p = (-4A + A)\cos(2x) + (-4B + B)\sin(2x) = -3A \cos(2x) - 3B \sin(2x).
Igualando ao termo \sin(2x) do lado direito gera o sistema
-3A = 0, \quad -3B = 1,
cuja solução é A = 0 e B = -\tfrac{1}{3}. Assim,
y_p(x) = -\frac{1}{3}\sin(2x).

Passo 5

A solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x) - \frac{1}{3}\sin(2x).

Resposta

y(x) = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x) - \frac{1}{3}\sin(2x).

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