EDOs de segunda ordem lineares(Coeficientes constantes).
Determine a solução geral das equações diferenciais:
y^{\prime \prime}+y=x^{2}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + y = x^2.
Conteúdo: solução geral = solução da homogênea mais uma solução particular. Vamos usar o método de coeficientes indeterminados para achar a parte particular.

Passo 2

Resolvendo a equação homogênea associada
y'' + y = 0
a equação característica é
r^2 + 1 = 0 \implies r = \pm i.
Logo a solução geral homogênea é
y_h(x) = C_1\cos x + C_2\sin x,
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Para a parte particular, como o termo não homogêneo é um polinômio de grau 2, escolhemos o ansatz
y_p(x) = Ax^2 + Bx + C.
Calculamos
y_p''(x) = 2A
e substituímos em y''+y=x^2:
y_p'' + y_p = 2A + (Ax^2 + Bx + C) = Ax^2 + Bx + (2A + C).
Queremos isso igual a x^2, então igualamos coeficientes:
  1. coeficiente de x^2: A = 1,
  2. coeficiente de x: B = 0,
  3. termo constante: 2A + C = 0 \implies 2\cdot1 + C = 0 \implies C = -2.
    Assim
y_p(x) = x^2 - 2.

Passo 4

A solução geral da equação original é
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1\cos x + C_2\sin x + x^2 - 2.

Resposta

y(x) = C_1\cos x + C_2\sin x + x^2 - 2.

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