EDOs de segunda ordem lineares(Coeficientes constantes).
Determine a solução geral das equações diferenciais:
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+5 y=e^{-x}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 2y' + 5y = e^{-x}.
Para resolver, vamos decompor a solução em duas partes:
  1. solução geral da homogênea associada,
  2. uma solução particular da não-homogênea.

Passo 2

Começamos pela homogênea
y'' - 2y' + 5y = 0.
Formamos a equação característica
r^2 - 2r + 5 = 0
cuja solução é
r = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4\cdot1\cdot5}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-16}}{2} = 1 \pm 2\,i.
Como as raízes são 1\pm2i, a solução geral da homogênea é
y_h(x) = e^{x}\bigl(C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x)\bigr).

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_p para a parte não-homogênea
y'' - 2y' + 5y = e^{-x}.
Tentamos o ansatz
y_p(x) = A\,e^{-x}.
Então
y_p' = -A\,e^{-x}, \quad y_p'' = A\,e^{-x},
e ao substituir na equação obtém-se
A\,e^{-x} \;-\;2(-A\,e^{-x}) \;+\;5(A\,e^{-x}) = (A + 2A + 5A)\,e^{-x} = 8A\,e^{-x}.
Para igualar a e^{-x}, precisamos de
8A = 1 \quad\Longrightarrow\quad A = \tfrac{1}{8}.
Logo
y_p(x) = \frac{1}{8}\,e^{-x}.

Resposta

A solução geral da equação dada é
y(x) = e^{x}\bigl(C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x)\bigr) + \frac{1}{8}\,e^{-x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

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