EDOs de segunda ordem lineares(Coeficientes constantes).
Determine a solução geral das equações diferenciais:
y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=e^{x}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 6y' + 9y = e^{x}.
O conteúdo aqui é resolver a parte homogênea via equação característica e depois encontrar uma solução particular pelo método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

Vamos resolver a equação homogênea correspondente
y'' - 6y' + 9y = 0.
A equação característica é
r^2 - 6r + 9 = 0.
Resolvendo,
r = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4\cdot1\cdot9}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2} = \frac{6}{2} = 3,
raiz dupla r=3. Como a multiplicidade é 2, a solução geral homogênea é
y_h = C_1 e^{3x} + C_2 x e^{3x}.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_p para
y'' - 6y' + 9y = e^{x}
pelo método dos coeficientes indeterminados. Como o termo do lado direito é e^{x}, tentamos
y_p = A e^{x},
onde A é constante a determinar. Então
y_p' = A e^{x}, \quad y_p'' = A e^{x}.
Substituindo na equação:
(Ae^{x}) - 6(Ae^{x}) + 9(Ae^{x}) = e^{x} \quad\Longrightarrow\quad A(1 - 6 + 9)e^{x} = e^{x} \quad\Longrightarrow\quad 4A e^{x} = e^{x}.
Logo
4A = 1 \quad\Longrightarrow\quad A = \tfrac{1}{4}.
Portanto
y_p = \tfrac{1}{4}e^{x}.

Passo 4

A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = y_h + y_p = C_1 e^{3x} + C_2 x e^{3x} + \tfrac{1}{4}e^{x}.

Resposta

y(x) = C_1 e^{3x} + C_2 x e^{3x} + \tfrac{1}{4}e^{x}.

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