Use coordenadas esféricas para encontrar o volume: do sólido limitado acima pela esfera
e abaixo pelo cone
.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede para encontrar o volume de um sólido que está acima da esfera
e abaixo de um cone definido por
. Vamos usar coordenadas esféricas para resolver isso. Para isso, a gente vai precisar entender um pouco sobre como funcionam as coordenadas esféricas e como montar uma integral tripla para calcular o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que nas coordenadas esféricas, um ponto no espaço é descrito por três valores:
, que é a distância do ponto à origem;
, que é o ângulo em relação ao eixo positivo z; e
, que é o ângulo no plano xy a partir do eixo positivo x.
O volume em coordenadas esféricas é dado por
. Esse é o elemento de volume que vamos integrar para encontrar o volume total do sólido.
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites de integração para cada uma das coordenadas:
- Para
: Como não há restrição no ângulo ao redor do eixo z, varia de a . - Para
: O sólido está limitado pelo cone , então varia de (no eixo z) até . - Para
: A distância máxima do sólido é dada pela esfera , então varia de até .
Passo 4
Com os limites definidos, podemos montar a integral tripla para calcular o volume:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 5
Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 6
Agora, integramos em relação a
:
Passo 7
Por último, integramos em relação a
:
Resposta
Multiplicando todos os resultados das integrais:
Portanto, o volume do sólido é
unidades cúbicas.