Use coordenadas esféricas para encontrar o volume: do sólido limitado acima pela esfera rho = 4 e abaixo pelo cone phi = pi / 3.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para encontrar o volume de um sólido que está acima da esfera rho = 4 e abaixo de um cone definido por phi = pi / 3. Vamos usar coordenadas esféricas para resolver isso. Para isso, a gente vai precisar entender um pouco sobre como funcionam as coordenadas esféricas e como montar uma integral tripla para calcular o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que nas coordenadas esféricas, um ponto no espaço é descrito por três valores: rho, que é a distância do ponto à origem; phi, que é o ângulo em relação ao eixo positivo z; e theta, que é o ângulo no plano xy a partir do eixo positivo x.
O volume em coordenadas esféricas é dado por . Esse é o elemento de volume que vamos integrar para encontrar o volume total do sólido.

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração para cada uma das coordenadas:
  • Para theta: Como não há restrição no ângulo ao redor do eixo z, theta varia de 0 a .
  • Para phi: O sólido está limitado pelo cone , então phi varia de 0 (no eixo z) até pi / 3.
  • Para rho: A distância máxima do sólido é dada pela esfera , então rho varia de 0 até .

Passo 4

Com os limites definidos, podemos montar a integral tripla para calcular o volume:
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 5

Primeiro, integramos em relação a rho:

Passo 6

Agora, integramos em relação a phi:

Passo 7

Por último, integramos em relação a theta:

Resposta

Multiplicando todos os resultados das integrais:
Portanto, o volume do sólido é unidades cúbicas.

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