Encontre a solução u(x, y) da equação de Laplace no retângulo 0 < x < a, 0 < y < b que satisfaz as condições de contorno
u(x, 0) = f(x), u(x, b) = g(x), u(0, y) = 0, u(a, y) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a solução da equação de Laplace dentro de um retângulo definido por e . As condições nas bordas do retângulo são dadas por , , e . Para resolver isso, vamos usar o método de separação de variáveis, que é uma técnica comum em equações diferenciais parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação de Laplace. Ela é dada por:
Essa equação descreve situações onde não há variação neta na função em relação a e . Para resolver, vamos supor que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, cada uma dependendo de uma variável única:

Passo 3

Agora, substituímos na equação de Laplace:
Dividindo ambos os lados por para separar as variáveis:
Isso nos leva a:
Aqui, é uma constante de separação.

Passo 4

Agora temos duas equações diferenciais ordinárias:
  1. Para :
  1. Para :
Vamos resolver essas equações com as condições de contorno que temos.

Passo 5

As condições de contorno em e são e . Substituindo , temos:
Como não pode ser zero para todas as , isso implica que:
Portanto, as soluções para são funções sinusoidais que satisfazem essas condições.

Passo 6

Resolvendo a equação para :
As soluções são:
onde é um número inteiro positivo, e .

Passo 7

Agora, resolvemos a equação para com :
A solução geral é:
Mas para evitar soluções que crescem exponencialmente à medida que aumenta, descartamos e mantemos apenas:

Passo 8

Assim, as soluções separáveis ficam:
A solução geral é a soma de todas essas soluções:

Passo 9

Agora, aplicamos as condições de contorno em e :
  1. :
Isso sugere que precisamos ajustar nossa solução para atender a e . Para isso, usamos uma combinação linear das soluções que considere as duas condições em .

Passo 10

Finalmente, combinamos as soluções para atender ambas as condições de contorno e encontramos os coeficientes usando séries de Fourier. A solução completa é:
onde são os coeficientes de Fourier da função .

Resposta

A solução da equação de Laplace no retângulo dado é:
onde são os coeficientes de Fourier da função .

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