Encontre a solução
da equação de Laplace no retângulo
que satisfaz as condições de contorno
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a solução
da equação de Laplace dentro de um retângulo definido por
e
. As condições nas bordas do retângulo são dadas por
,
, e
. Para resolver isso, vamos usar o método de separação de variáveis, que é uma técnica comum em equações diferenciais parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação de Laplace. Ela é dada por:
Essa equação descreve situações onde não há variação neta na função
em relação a
e
. Para resolver, vamos supor que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, cada uma dependendo de uma variável única:
Passo 3
Agora, substituímos
na equação de Laplace:
Dividindo ambos os lados por
para separar as variáveis:
Isso nos leva a:
Aqui,
é uma constante de separação.
Passo 4
Agora temos duas equações diferenciais ordinárias:
- Para
:
- Para
:
Vamos resolver essas equações com as condições de contorno que temos.
Passo 5
As condições de contorno em
e
são
e
. Substituindo
, temos:
Como
não pode ser zero para todas as
, isso implica que:
Portanto, as soluções para
são funções sinusoidais que satisfazem essas condições.
Passo 6
Resolvendo a equação para
:
As soluções são:
onde
é um número inteiro positivo, e
.
Passo 7
Agora, resolvemos a equação para
com
:
A solução geral é:
Mas para evitar soluções que crescem exponencialmente à medida que
aumenta, descartamos
e mantemos apenas:
Passo 8
Assim, as soluções separáveis ficam:
A solução geral é a soma de todas essas soluções:
Passo 9
Agora, aplicamos as condições de contorno em
e
:
-
:
Isso sugere que precisamos ajustar nossa solução para atender a
e
. Para isso, usamos uma combinação linear das soluções que considere as duas condições em
.
Passo 10
Finalmente, combinamos as soluções para atender ambas as condições de contorno e encontramos os coeficientes
usando séries de Fourier. A solução completa é:
onde
são os coeficientes de Fourier da função
.
Resposta
A solução da equação de Laplace no retângulo dado é:
onde
são os coeficientes de Fourier da função
.