Unicamp-SP 2025 Sejam \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}-2 e \mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{2}-4 \mathrm{x} funções reais. A quantidade de números \mathrm{x} \in \mathrm{Z} que satisfazem à inequação \mathrm{g}[\mathrm{f}(\mathrm{x})]<0 é:
A) 2 .
B) 3 .
C) 4 .
D) 5 .

Passo 1

O enunciado fornece duas funções reais e pede a quantidade de números inteiros que satisfazem uma inequação composta. Informações dadas:
  • f(x)=x-2.
  • g(x)=x^{2}-4x.
  • A inequação a ser satisfeita é g[f(x)]<0.
    A pergunta explícita: “Qual a quantidade de números x\in\mathbb{Z} que satisfazem g[f(x)]<0?”

Passo 2

Primeiro passo prático: escrever a composição g[f(x)]. Isso significa substituir a expressão f(x) no lugar de x em g(x). Em notação:
g[f(x)] = g\bigl(f(x)\bigr)=\bigl(f(x)\bigr)^{2}-4\bigl(f(x)\bigr).
Aqui f(x) é a quantidade que será usada como entrada para g.

Passo 3

Agora substituir f(x)=x-2 na expressão acima e simplificar passo a passo:
g[f(x)]=(x-2)^{2}-4(x-2).
Calcular separadamente (x-2)^{2} e 4(x-2):
(x-2)^{2}=x^{2}-4x+4, \qquad 4(x-2)=4x-8.
Substituindo:
g[f(x)]=\bigl(x^{2}-4x+4\bigr)-\bigl(4x-8\bigr).

Passo 4

Continuar a simplificação juntando termos semelhantes:
g[f(x)]=x^{2}-4x+4-4x+8 = x^{2}-8x+12.
Portanto a inequação original g[f(x)]<0 vira a inequação quadrática
x^{2}-8x+12<0.

Passo 5

Explicar como resolver uma inequação quadrática do tipo ax^{2}+bx+c<0:
  • Se a>0 (parábola “para cima”), a expressão é negativa entre as raízes reais distintas da equação ax^{2}+bx+c=0.
  • Assim encontramos as raízes de x^{2}-8x+12=0 usando a fórmula quadrática ou fatoração.
    Testar fatoração: procurar dois números cujo produto seja 12 e soma seja -8. Esses números são -2 e -6. Logo:
x^{2}-8x+12=(x-2)(x-6).
As raízes são x=2 e x=6. Como o coeficiente de x^{2} é 1>0, a parábola abre para cima e a inequação x^{2}-8x+12<0 é satisfeita para valores de x estritamente entre as raízes:
2<x<6.

Passo 6

Agora precisamos dos x inteiros que satisfazem 2<x<6. Os inteiros estritamente entre 2 e 6 são
\{3,\,4,\,5\}.
Portanto esses são os valores inteiros que tornam g[f(x)]<0.

Resposta

B) 3.

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