(EEM) Calcule p, sabendo-se que A_{m, p}=C_{m, p} \quad \forall m e 0 \leqslant p<m.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os valores de p tais que, para todo m e 0 \le p < m, valha
A_{m,p} = C_{m,p}.
Aqui A_{m,p} é o número de arranjos (permutações) de m elementos tomados p a p e C_{m,p} é o número de combinações de m elementos tomados p a p. Vamos usar as fórmulas conhecidas dessas duas quantidades.

Passo 2

A fórmula do número de arranjos de m elementos tomados p a p é
A_{m,p} = \frac{m!}{(m-p)!}.
A fórmula do número de combinações de m elementos tomados p a p é
C_{m,p} = \frac{m!}{p!\,(m-p)!}.

Passo 3

Igualando as duas expressões:
\frac{m!}{(m-p)!} \;=\;\frac{m!}{p!\,(m-p)!}.
Como m! e (m-p)! são positivos para 0\le p<m, podemos simplificar ambos os lados por \tfrac{m!}{(m-p)!}, obtendo
1 = \frac{1}{p!}.

Passo 4

A equação
1 = \frac{1}{p!}
implica
p! = 1.
Como o fatorial de um número inteiro não negativo só é igual a 1 quando esse número é 0 ou 1, concluímos
p = 0 \quad\text{ou}\quad p = 1.

Resposta

Os valores de p que satisfazem A_{m,p}=C_{m,p} para todo m com 0\le p<m são p=0 ou p=1.

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