Sorteio 3 bolas em uma urna com 3 bolas azuis e 7 verdes, só que eu não digo se vou fazer com ou sem reposição. Decido por uma ou outra opção aleatoriamente, com igual probabilidade, mas vocês não sabem qual eu escolhi.
Faço o experimento, e o resultado é que, em 3 bolas, sorteei 2 bolas azuis. Qual é a probabilidade de eu ter feito o sorteio com reposição?
Faço o experimento, e o resultado é que, em 3 bolas, sorteei 2 bolas azuis. Qual é a probabilidade de eu ter feito o sorteio com reposição?
Passo 1
O enunciado descreve uma urna com 3 bolas azuis e 7 verdes. Eu escolho aleatoriamente — com probabilidade
— entre sortear com reposição (evento
) ou sem reposição (evento
), mas vocês não sabem qual método usei. Após sortear 3 bolas, observei exatamente 2 azuis (evento
). A questão pede a probabilidade posterior de eu ter feito o sorteio com reposição, ou seja,
.
Passo 2
Definimos
e aplicaremos o Teorema de Bayes:
Passo 3
Calcular
. Com reposição, cada retirada é independente com
. Logo, a probabilidade de 2 azuis em 3 retiradas é
Passo 4
Calcular
. Sem reposição, usamos distribuição hipergeométrica:
Passo 5
Aplicar Bayes:
Passo 6
Simplificar
. Como
, obtemos