Sorteio 3 bolas em uma urna com 3 bolas azuis e 7 verdes, só que eu não digo se vou fazer com ou sem reposição. Decido por uma ou outra opção aleatoriamente, com igual probabilidade, mas vocês não sabem qual eu escolhi.
Faço o experimento, e o resultado é que, em 3 bolas, sorteei 2 bolas azuis. Qual é a probabilidade de eu ter feito o sorteio com reposição?

Passo 1

O enunciado descreve uma urna com 3 bolas azuis e 7 verdes. Eu escolho aleatoriamente — com probabilidade 1/2 — entre sortear com reposição (evento R) ou sem reposição (evento N), mas vocês não sabem qual método usei. Após sortear 3 bolas, observei exatamente 2 azuis (evento E). A questão pede a probabilidade posterior de eu ter feito o sorteio com reposição, ou seja, P(R\mid E).

Passo 2

Definimos
P(R)=P(N)=\tfrac12,
e aplicaremos o Teorema de Bayes:
P(R\mid E) =\frac{P(E\mid R)\,P(R)}{P(E\mid R)\,P(R)+P(E\mid N)\,P(N)}.

Passo 3

Calcular P(E\mid R). Com reposição, cada retirada é independente com P(\text{azul})=3/10. Logo, a probabilidade de 2 azuis em 3 retiradas é
P(E\mid R) =\binom{3}{2}\Bigl(\frac{3}{10}\Bigr)^2\Bigl(\frac{7}{10}\Bigr) =3\cdot\frac{9}{100}\cdot\frac{7}{10} =\frac{189}{1000}.

Passo 4

Calcular P(E\mid N). Sem reposição, usamos distribuição hipergeométrica:
P(E\mid N) =\frac{\binom{3}{2}\binom{7}{1}}{\binom{10}{3}} =\frac{3\cdot7}{120} =\frac{21}{120} =\frac{7}{40} =\frac{175}{1000}.

Passo 5

Aplicar Bayes:
P(R\mid E) =\frac{\tfrac12\cdot\tfrac{189}{1000}}{\tfrac12\cdot\tfrac{189}{1000}+\tfrac12\cdot\tfrac{175}{1000}} =\frac{189}{189+175} =\frac{189}{364}.

Passo 6

Simplificar \tfrac{189}{364}. Como \gcd(189,364)=7, obtemos
\frac{189}{364} =\frac{27}{52}.

Resposta

\displaystyle \frac{27}{52}

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