(FAM) Sabendo-se que \frac{C_{8, p+2}}{C_{8, p+1}}=2, determine o valor de p.

Passo 1

O enunciado diz que a razão entre dois coeficientes binomiais é
\frac{C_{8,\,p+2}}{C_{8,\,p+1}} = 2
Estamos trabalhando com coeficientes binomiais do tipo C_{n,k} = \binom{n}{k}. Para resolver, vamos usar a definição em termos de fatoriais e simplificar a razão.

Passo 2

Escrevendo cada coeficiente pela fórmula \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}, temos
\frac{C_{8,\,p+2}}{C_{8,\,p+1}} = \frac{\displaystyle\frac{8!}{(p+2)!\,(8-(p+2))!}} {\displaystyle\frac{8!}{(p+1)!\,(8-(p+1))!}} = \frac{(p+1)!\,(8-(p+1))!}{(p+2)!\,(8-(p+2))!}.
Note que 8-(p+1)=7-p e 8-(p+2)=6-p. Também (p+2)!=(p+2)(p+1)! e (7-p)!=(7-p)(6-p)!. Logo a razão fica

Passo 3

\frac{C_{8,\,p+2}}{C_{8,\,p+1}} = \frac{(p+1)!\,(7-p)!}{(p+2)!\,(6-p)!} = \frac{1}{p+2}\;\cdot(7-p) = \frac{7-p}{p+2}.
Impondo que isso valha 2, obtemos a equação em \,p:
\frac{7-p}{p+2}=2.
Multiplicando em cruz:
7 - p = 2(p+2) \quad\Longrightarrow\quad 7 - p = 2p + 4 \quad\Longrightarrow\quad 3 = 3p \quad\Longrightarrow\quad p = 1.

Resposta

p = 1

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