Efectua as operações
2.
\frac{4 y x^{-1}-x y^{-1}}{2 x^{-1}+y^{-1}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\frac{4\,y\,x^{-1} - x\,y^{-1}}{2\,x^{-1} + y^{-1}}
Trata-se de manipulação de potências negativas e frações algébricas.

Passo 2

Usamos x^{-1} = \frac{1}{x} e y^{-1} = \frac{1}{y}. Então a expressão vira
\frac{\displaystyle 4\,y\bigl(\tfrac1x\bigr) - x\bigl(\tfrac1y\bigr)}{\displaystyle 2\bigl(\tfrac1x\bigr) + \bigl(\tfrac1y\bigr)} = \frac{\displaystyle \frac{4y}{x} - \frac{x}{y}}{\displaystyle \frac{2}{x} + \frac{1}{y}}.

Passo 3

Vamos colocar numerador e denominador sobre o mesmo denominador xy:
\frac{4y}{x} - \frac{x}{y} = \frac{4y^2 - x^2}{xy}, \qquad \frac{2}{x} + \frac{1}{y} = \frac{2y + x}{xy}.

Passo 4

Dividindo as duas frações, obtemos
\frac{\frac{4y^2 - x^2}{xy}}{\frac{2y + x}{xy}} = \frac{4y^2 - x^2}{xy}\,\cdot\,\frac{xy}{2y + x} = \frac{4y^2 - x^2}{2y + x}.

Passo 5

Reconhecemos diferença de quadrados no numerador:
4y^2 - x^2 = (2y - x)(2y + x),
então
\frac{4y^2 - x^2}{2y + x} = \frac{(2y - x)(2y + x)}{2y + x} = 2y - x.

Resposta

2y - x

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