Efeito da translação em s. Mostre que multiplicar uma função
por uma exponencial
produz na transformada de Laplace um efeito de translação na variável s. Isto é, mostre que
Sugestão: aplique a definição da transformada de Laplace para
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, ao multiplicar uma função f(t) por uma exponencial e^{a t}, a transformada de Laplace sofre uma translação na variável s, isto é,
. Vamos usar o conteúdo de definição da transformada de Laplace e a propriedade de combinação de expoentes.
Passo 2
Aplicando a definição da transformada de Laplace para
, temos:
Passo 3
Agora escrevemos a definição de
:
Dentro da integral, combinamos os expoentes:
. Então isso fica
Passo 4
Comparando com a expressão de
do passo anterior, vemos que ambas são exatamente a mesma integral. Logo concluímos que: