Efeito da translação em s. Mostre que multiplicar uma função f(t) por uma exponencial e^ at produz na transformada de Laplace um efeito de translação na variável s. Isto é, mostre que
Le^a t f(t)=F(s-a)
Sugestão: aplique a definição da transformada de Laplace para F(s-a).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, ao multiplicar uma função f(t) por uma exponencial e^{a t}, a transformada de Laplace sofre uma translação na variável s, isto é, Le^a tf(t)=F(s-a). Vamos usar o conteúdo de definição da transformada de Laplace e a propriedade de combinação de expoentes.

Passo 2

Aplicando a definição da transformada de Laplace para F(s - a), temos:
F(s-a) = integral0^infty e^-(s-a)t,f(t),dt

Passo 3

Agora escrevemos a definição de Le^a tf(t):
Le^a tf(t) = integral0^infty e^-s t,l(e^a tf(t)r),dt
Dentro da integral, combinamos os expoentes: e^-s tcdot e^a t = e^-(s-a)t. Então isso fica
Le^a tf(t) = integral0^infty e^-(s-a)t,f(t),dt

Passo 4

Comparando com a expressão de F(s-a) do passo anterior, vemos que ambas são exatamente a mesma integral. Logo concluímos que:
Le^a tf(t) = F(s - a)

Resposta

Le^a tf(t) = F(s - a)

Exercícios relacionados