Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça a todas as condiçठ̃es dadas.
lim x -infty f(x)=-infty, lim x -2^- f(x)=infty, lim x -2^+ f(x)=-infty, lim x 2 f(x)=infty, lim x infty f(x)=infty

Passo 1

O enunciado pede um esboço de uma função f com dois pontos de descontinuidade (assíntotas verticais) em x=-2 e x=2, tais que
limxto -inftyf(x)=-infty, limxto -2^-f(x)=+infty, limxto -2^+f(x)=-infty, limxto 2f(x)=+infty, limxto +inftyf(x)=+infty
Precisamos combinar termos que garantam essas assíntotas e o comportamento em pminfty.

Passo 2

Para montar a função, usamos três blocos:
1. O termo x para ditar o comportamento em pminfty, pois limxto-inftyx=-infty e limxto+inftyx=+infty.
2. A fração dfracx+1x+2 para criar uma assíntota vertical em x=-2 com
limxto-2^-x+1x+2=+infty e limxto-2^+x+1x+2=-infty.
3. O termo dfrac1(x-2)^2 para gerar uma assíntota vertical em x=2 com
limxto2^pm1(x-2)^2=+infty.

Passo 3

Definimos portanto
f(x)=x+x+1x+2+1(x-2)^2

Passo 4

Analisamos os limites:
– Para xto -infty, o termo dominante é x, logo
limxto -inftyf(x)= -infty
– Em xto -2, o termo x+1x+2 domina: de xto-2^- o denominador to0^- faz a fração to+infty, e de xto-2^+ o denominador to0^+ faz to-infty. Os demais termos são finitos nesse ponto.
– Em xto 2, o termo 1(x-2)^2 domina em ambos os lados, gerando
limxto2f(x)=+infty
– Para xto +infty, novamente o termo x domina, de modo que
limxto +inftyf(x)= +infty

Resposta

O esboço de f fica assim:
Traceje as retas verticais x=-2 e x=2 como assíntotas.
No ramo x<-2, a curva sai de -infty (quando xto-infty) e cresce até +infty ao se aproximar de -2 pela esquerda.
Em -2<x<2, a curva surge em -infty junto a -2^+, sobe (podendo cruzar o eixo x uma ou duas vezes) e volta a subir até +infty ao chegar em 2^-.
Para x>2, inicia em +infty em 2^+, desce (cruzando possivelmente o eixo) e depois cresce indefinidamente, indo a +infty quando xto+infty.

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