Q2 Encontre a soma da serie telescopica
sumn=1^infty 1(2 n-1)(2 n+1)

Passo 1

A questão pede a soma da série infinita telescópica
sumn=1^infty 1(2n-1)(2n+1)
O conteúdo é soma de série telescópica e vamos precisar fazer decomposição em frações parciais para ver o cancelamento de termos.

Passo 2

Primeiro, fazemos a decomposição em frações parciais: queremos constantes A e B tais que
1(2n-1)(2n+1)=A2n-1+B2n+1
Multiplicando em cruz, fica
1=A(2n+1)+B(2n-1)=2n(A+B)+(A-B)
Igualando coeficientes obtemos o sistema
2(A+B)=0 A-B=1
que dá A=tfrac12 e B=-tfrac12. Assim
1(2n-1)(2n+1)=12l(12n-1-12n+1r)

Passo 3

Agora somamos os primeiros N termos:
SN=sumn=1^N 12l(12n-1-12n+1r) =12l((1-tfrac13)+(tfrac13-tfrac15)+cdots+(tfrac12N-1-tfrac12N+1)r)
Note que tudo cancela em cascata, sobrando
SN=12l(1-12N+1r)

Passo 4

Para fechar, basta fazer o limite quando Ntoinfty:
limNtoinftySN=12l(1-0r)=12
Ou seja, a soma da série é tfrac12.

Resposta

tfrac12

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