Q3 Usa o teste da integral para determinar se a serie
converge?
Passo 1
O enunciado pede para aplicar o teste da integral na série
. O conteúdo aqui é séries numéricas e, em especial, o teste da integral imprópria: vamos associar a soma à integral de uma função
. Para isso, definimos
e precisamos verificar que ela é contínua, positiva e decrescente para
.
Passo 2
Primeiro, mostramos que
satisfaz as hipóteses do teste da integral:
é contínua e positiva para todo
porque o denominador
. Para ver que é decrescente, calculamos a derivada:
$$
f’(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x2+4\bigr){-1}=-1\cdot(x2+4){-2}\cdot2x=-\frac{2x}{(x2+4)2}$$
Como implica
e
, temos
, logo
é decrescente.
Como
Passo 3
Agora, avaliamos a integral imprópria associada:
Usamos a primitiva padrão
. Aqui
, então:
Aplicando os limites de 1 a
:
Passo 4
Como a integral imprópria converge (tem valor finito) e
atende às condições do teste da integral, concluímos que a série
também converge pelo teste da integral.
Resposta
A série
converge pelo teste da integral, já que
é finita.