Q3 Usa o teste da integral para determinar se a serie
sumn=1^infty 1n^2+4
converge?

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o teste da integral na série sumn=1^infty 1n^2+4. O conteúdo aqui é séries numéricas e, em especial, o teste da integral imprópria: vamos associar a soma à integral de uma função f(x). Para isso, definimos f(x)=1x^2+4 e precisamos verificar que ela é contínua, positiva e decrescente para x>=1.

Passo 2

Primeiro, mostramos que f(x)=1x^2+4 satisfaz as hipóteses do teste da integral:
f(x) é contínua e positiva para todo x>=1 porque o denominador x^2+4>0. Para ver que é decrescente, calculamos a derivada:
$$
f’(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x2+4\bigr){-1}=-1\cdot(x2+4){-2}\cdot2x=-\frac{2x}{(x2+4)2}$$
Como f'(x)=ddxl(x^2+4r)^-1=-1cdot(x^2+4)^-2cdot2x=-2x(x^2+4)^2 implica x>=1 e 2x>0, temos (x^2+4)^2>0, logo f'(x)<0 é decrescente.

Passo 3

Agora, avaliamos a integral imprópria associada:
integral1^inftydxx^2+4
Usamos a primitiva padrão integraldxx^2+a^2=1aarctan( xa). Aqui a=2, então:
integraldxx^2+4=12arctanl( x2r)+C
Aplicando os limites de 1 a +infty:
integral1^inftydxx^2+4 =limbtoinftyl[12arctanl( b2r) - 12arctanl(12r)r] =12l(pi2-arctanl(tfrac12r)r)

Passo 4

Como a integral imprópria converge (tem valor finito) e f atende às condições do teste da integral, concluímos que a série sumn=1^infty1n^2+4 também converge pelo teste da integral.

Resposta

A série sumn=1^infty 1n^2+4 converge pelo teste da integral, já que integral1^infty dxx^2+4 é finita.

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