8.4 O efeito de tunelamento

Considere uma partícula de massa m que esteja impedida de sair de uma certa região, ou seja, que esteja presa dentro de uma caixa. Por simplicidade resolveremos a caixa unidimensional de comprimento L. O potencial que representa essa situação é:
V(x)=c 0, se 0 <= x <= L e infty, se x <= 0 ou x >= L

Passo 1

O enunciado apresenta o potencial de poço infinito unidimensional de largura L, onde
V(x)= 0,&0<= x<= L, infty,&x<0 ou x>L
Este conteúdo faz parte da mecânica quântica e, em particular, dos estados ligados em poço infinito. Para resolver, vamos precisar aplicar a equação de Schr"odinger independente do tempo na região permitida e impor condições de contorno que garantam que a função de onda se anule nas paredes infinitas.

Passo 2

Dentro do poço (0<= x<= L), o potencial é zero, então a equação de Schr"odinger independente do tempo fica
-hbar^22m,d^2psi(x)dx^2=E,psi(x)
Reorganizando, obtemos a equação diferencial
d^2psi(x)dx^2 + k^2,psi(x)=0,
onde definimos
k^2=2mEhbar^2

Passo 3

A solução geral dessa equação é
psi(x)=Asin(kx)+Bcos(kx)
Agora aplicamos as condições de contorno: como V=infty em x=0 e x=L, a função de onda deve satisfazer psi(0)=0 e psi(L)=0.

Passo 4

Impondo psi(0)=0 em psi(x)=Asin(kx)+Bcos(kx), vemos que
psi(0)=Asin0 + Bcos0 = B = 0
Logo B=0 e
psi(x)=Asin(kx)

Passo 5

Agora impondo psi(L)=0, temos
psi(L)=Asin(kL)=0
Para Aneq0, é necessário
sin(kL)=0Longrightarrow kL = npi, n=1,2,3,dots
Isso quantiza k. Assim,
kn = npiL

Passo 6

Substituindo kn em k^2=2mEhbar^2, obtemos os níveis de energia permitidos:
En = hbar^2 kn^22m = hbar^22m,gl(npiLgr)^2 = n^2pi^2hbar^22mL^2, n=1,2,3,dots

Passo 7

As funções de onda normalizadas correspondentes são
psin(x) = An sinl(tfracnpiLxr)
Para normalização, impomos
integral0^L|psin(x)|^2,dx = |An|^2 integral0^Lsin^2!l(tfracnpiLxr),dx = 1
Sabendo que integral0^Lsin^2(npi x/L),dx = L/2, temos
|An|^2 L2=1 Longrightarrow An = raiz2L

Resposta

As energias e funções de onda do poço infinito são
En = n^2pi^2hbar^22mL^2, psin(x) = raiz2L;sin!l(npiLxr), n=1,2,3,dots

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