8.4 O efeito de tunelamento
Considere uma partícula de massa
que esteja impedida de sair de uma certa região, ou seja, que esteja presa dentro de uma caixa. Por simplicidade resolveremos a caixa unidimensional de comprimento
. O potencial que representa essa situação é:
Passo 1
O enunciado apresenta o potencial de poço infinito unidimensional de largura
, onde
Este conteúdo faz parte da mecânica quântica e, em particular, dos estados ligados em poço infinito. Para resolver, vamos precisar aplicar a equação de Schr"odinger independente do tempo na região permitida e impor condições de contorno que garantam que a função de onda se anule nas paredes infinitas.
Passo 2
Dentro do poço
, o potencial é zero, então a equação de Schr"odinger independente do tempo fica
Reorganizando, obtemos a equação diferencial
onde definimos
Passo 3
A solução geral dessa equação é
Agora aplicamos as condições de contorno: como
em
e
, a função de onda deve satisfazer
e
.
Passo 4
Impondo
em
, vemos que
Logo
e
Passo 5
Agora impondo
, temos
Para
, é necessário
Isso quantiza
. Assim,
Passo 6
Substituindo
em
, obtemos os níveis de energia permitidos:
Passo 7
As funções de onda normalizadas correspondentes são
Para normalização, impomos
Sabendo que
, temos
Resposta
As energias e funções de onda do poço infinito são