Sem efetuar a expansão, determine o raio de convergência R da série de Taylor da função dada, centrada no ponto indicado.
f(z)=cot z, z0=pi i

Passo 1

A questão pede o raio de convergência da série de Taylor de f(z)=cot z, centrada em z0=pi i. O conteúdo aqui é séries de Taylor no plano complexo e a ideia principal é que o raio de convergência é igual à menor distância entre o centro z0 e qualquer singularidade de f(z).

Passo 2

Precisamos identificar as singularidades da função cot z. Sabemos que cot z=dfraccos zsin z tem polos simples sempre que sin z=0. Isso ocorre para z=npi, ninZ

Passo 3

Agora calculamos a distância de z0=pi i até cada polo z=npi. Em coordenadas,

Para escolher o menor valor, basta variar |pi i - npi| = |pi (i - n)| = pi,|i-n| = piraizn^2+1. O caso ninZ dá a menor distância:

Passo 4

Portanto o raio de convergência da série de Taylor de cot z em torno de pi i é pi.

Resposta

R=\pi

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