Use frações parciais para auxiliar a determinação da série de Maclaurin para a função dada. Dê o raio de convergência R da série.
f(z)=z-7z^2-2 z-3

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin (isto é, em potências de z centrada em zero) de
f(z)=z-7z^2-2z-3
Aplicaremos frações parciais e depois usaremos séries geométricas. O conteúdo principal envolve decomposição em frações parciais e expansão de 1/(1-w).

Passo 2

Fatoramos o denominador e fazemos a decomposição em frações parciais. Note que
z^2-2z-3=(z-3)(z+1)
Procuramos constantes A e B tais que
z-7(z-3)(z+1)=Az-3+Bz+1
Multiplicando em cruz:
z-7=A(z+1)+B(z-3)
Tomando z=3 -4=4A A=-1.
Tomando z=-1 -8=-4B B=2.
Logo
f(z)=-1z-3+2z+1

Passo 3

Transformamos cada termo em séries de potências de z válidas para |z| pequeno. Primeiro,
$$-\frac1{z-3}=\frac1{3-z}=\frac1{3}\cdot\frac1{1-\frac z3}
-1z-3=13-z=13cdot11- z3 ééã\frac1{3-z}=\frac1{3}\sum_{n=0}^\infty\Bigl(\frac z3\Bigr)^n
=\sum_{n=0}\infty\frac{zn}{3^{n+1}}.
1/(1-w)=sumn=0^infty w^n\frac{2}{z+1}=2\cdot\frac1{1+z}
=2\sum_{n=0}\infty(-1)n z^n\quad(para|z|<1).
$$

Passo 4

Agora somamos as duas séries termo a termo, obtendo
f(z)=sumn=0^inftyz^n3^n+1+2sumn=0^infty(-1)^n z^n =sumn=0^inftyl(13^n+1+2(-1)^nr)z^n

Passo 5

O raio de convergência R é o mínimo dos raios de convergência de cada série parcial. Do primeiro termo precisamos de |z/3|<1 (isto é, |z|<3) e do segundo de |z|<1. Assim

Passo 6

o domínio comum é |z|<1, logo
R=1

Resposta

f(z)=sumn=0^inftyl(13^n+1+2(-1)^nr)z^n, R=1

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