Use frações parciais para auxiliar a determinação da série de Maclaurin para a função dada. Dê o raio de convergência
da série.
Passo 1
O enunciado pede a série de Maclaurin (isto é, em potências de
centrada em zero) de
Aplicaremos frações parciais e depois usaremos séries geométricas. O conteúdo principal envolve decomposição em frações parciais e expansão de
Passo 2
Fatoramos o denominador e fazemos a decomposição em frações parciais. Note que
Procuramos constantes
Multiplicando em cruz:
Tomando
Tomando
Logo
Passo 3
Transformamos cada termo em séries de potências de
válidas para
pequeno. Primeiro,
$$-\frac1{z-3}=\frac1{3-z}=\frac1{3}\cdot\frac1{1-\frac z3}
=\sum_{n=0}\infty\frac{zn}{3^{n+1}}.
=2\sum_{n=0}\infty(-1)n z^n\quad(para|z|<1).
$$
Passo 4
Agora somamos as duas séries termo a termo, obtendo
Passo 5
O raio de convergência
é o mínimo dos raios de convergência de cada série parcial. Do primeiro termo precisamos de
(isto é,
) e do segundo de
. Assim
Passo 6
o domínio comum é
, logo