Sem efetuar a expansão, determine o raio de convergência R da série de Taylor da função dada, centrada no ponto indicado.
f(z)=4+5 z1+z^2, z0=2+5 i

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência da série de Taylor de f(z)=4+5z1+z^2 centrada em z0=2+5i. Vamos usar o fato de que esse raio é a distância do centro z0 até a singularidade mais próxima de f.

Passo 2

As singularidades de f vêm das raízes do denominador 1+z^2=0, ou seja, z= i e z=-i.

Passo 3

Calculamos agora as distâncias de z0=2+5i até essas singularidades:
Distância até i:
|z0 - i| = |(2+5i) - i| = |2 + 4i| = raiz2^2 + 4^2 = raiz20 = 2raiz5
Distância até -i:
|z0 + i| = |(2+5i) + i| = |2 + 6i| = raiz2^2 + 6^2 = raiz40 = 2raiz10

Passo 4

O raio de convergência é o menor desses valores, ou seja, 2raiz5.

Resposta

R = 2raiz5

Exercícios relacionados