Identifique e faça um esboço das superfícies de nível para cada função f(x, y, z) correspondentes aos valores de c dados.
f(x, y, z)=4 x^2+9 y^2-72 z, c=0

Passo 1

O enunciado pede para traçar as superfícies de nível da função f(x,y,z)=4x²+9y²−72z para o valor c=0. O conteúdo é estudo de superfícies quádricas (níveis de funções de três variáveis) e vamos precisar escrever a equação f(x,y,z)=c em uma forma que permita identificar o tipo de superfície.

Passo 2

Igualando f=0 temos:
4x^2+9y^2-72z=0
e isolamos z para ver de que quádricas se trata:
72z=4x^2+9y^2
z=4x^2+9y^272=x^218+y^28

Passo 3

Essa equação mostra que, fixando z=constante k≥0, a interseção com planos horizontais é dada por
4x^2+9y^2=72kLong<=ftrightarrowx^218k+y^28k=1,
que são elipses para k>0 (e um ponto em k=0). Já as seções verticais em planos x=0 ou y=0 são parábolas de equações z=y²/8 ou z=x²/18. Portanto, a superfície é um paraboloide elíptico com eixo ao longo de z abrindo para cima.

Passo 4

No esboço, desenha-se o eixo z vertical e, para valores de z crescentes, elipses de semieixos √(18z) e √(8z), indicando o alargamento diferente nas direções x e y.

Resposta

A superfície de nível f(x,y,z)=0 é o paraboloide elíptico dado por
z=x^218+y^28,
abrindo no sentido positivo de z.

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