Identifique e faça um esboço das superfícies de nível para cada função
correspondentes aos valores de
dados.
Passo 1
O enunciado pede para traçar as superfícies de nível da função f(x,y,z)=4x²+9y²−72z para o valor c=0. O conteúdo é estudo de superfícies quádricas (níveis de funções de três variáveis) e vamos precisar escrever a equação f(x,y,z)=c em uma forma que permita identificar o tipo de superfície.
Passo 2
Igualando f=0 temos:
e isolamos z para ver de que quádricas se trata:
Passo 3
Essa equação mostra que, fixando z=constante k≥0, a interseção com planos horizontais é dada por
que são elipses para k>0 (e um ponto em k=0). Já as seções verticais em planos x=0 ou y=0 são parábolas de equações z=y²/8 ou z=x²/18. Portanto, a superfície é um paraboloide elíptico com eixo ao longo de z abrindo para cima.
Passo 4
No esboço, desenha-se o eixo z vertical e, para valores de z crescentes, elipses de semieixos √(18z) e √(8z), indicando o alargamento diferente nas direções x e y.
Resposta
A superfície de nível f(x,y,z)=0 é o paraboloide elíptico dado por
abrindo no sentido positivo de z.