Use a representação em série de potências em torno de x0=0 da função f(x)=x^2 sen(x) para determinar f^(40)(0) e f^(51)(0).
Sugestão: Multiplique a série de Maclaurin sen(x)=sumn=0^infty(-1)^n x^2 n+1(2 n+1)! por x^2.

Passo 1

O enunciado pede para determinar as derivadas de ordem 40 e 51 em zero da função f(x)=x^2sin(x) usando a expansão em série de potências (Maclaurin) de sin(x). Vamos precisar da forma geral da série e da relação entre coeficientes de potências e derivadas em zero.

Passo 2

A série de Maclaurin de sin(x) é dada por
sin(x)=sumn=0^infty(-1)^nx^2n+1(2n+1)!

Passo 3

Multiplicando essa série por x^2 obtemos a expansão de f(x)=x^2sin(x):
f(x)=sumn=0^infty(-1)^nx^2n+3(2n+1)!

Passo 4

Da forma acima, o coeficiente ak de x^k em f(x)=sumk=0^infty akx^k é
ak=(-1)^n/(2n+1)!&se k=2n+30&caso contrário á

Passo 5

Recordando que, para uma série f(x)=sum akx^k, vale
f^(m)(0)=m!,am, podemos agora encontrar as derivadas desejadas.

Passo 6

Para m=40, resolvemos 2n+3=40 dando n=18,5, não inteiro. Logo a40=0 e
f^(40)(0)=0

Passo 7

Para m=51, resolvemos 2n+3=51 dando n=24. Então
a51=(-1)^24/(49)!=1/(49)! Logo
f^(51)(0)=51!,a51=51!49!=50times51=2550

Resposta

f^{(40)}(0)=0 e f^{(51)}(0)=2550

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