Mostre que \oint_{c} \log z d z=2 \pi i, onde C é um contorno envolvendo a origem uma /16vez no sentido positivo.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
\oint_{C} \log z\,dz = 2\pi i,
onde C é um contorno que envolve a origem uma vez no sentido positivo. Vou assumir a formulação usual desta questão: C é o círculo unitário centrado na origem, percorrido uma vez no sentido anti-horário (positivo), começando em z=1. Listando as informações relevantes: o integrando é \log z (função multivalorada), o contorno é o círculo unitário orientado positivamente e o objetivo é calcular a integral de linha complexa fechada.
Passo 2
Breve explicação sobre \log z: para z\neq 0 definimos
\log z = \ln|z| + i\arg z,
onde \arg z é o argumento de z e é multivalorado, pois podemos somar 2\pi k com k\in\mathbb{Z}. Ao percorrer uma volta completa em torno da origem o argumento aumenta em 2\pi. Para calcular a integral, escolhemos uma determinação contínua de \log z ao longo do caminho: ao percorrer o círculo unitário com parâmetro t de 0 a 2\pi, tomamos
\log\big(e^{it}\big)=\ln 1 + i t = i t,\qquad t\in[0,2\pi].
Essa escolha é a continuação analítica ao longo do percurso (começamos com argumento 0 e terminamos em 2\pi).
Passo 3
Parâmetrizamos o contorno C (círculo unitário) por
z(t)=e^{it},\qquad 0\le t\le 2\pi.
Então
dz = i e^{it}\,dt
e, pela escolha feita, \log z(t)=it. Substituímos tudo na integral:
\big(i t\big)\big(i e^{it}\big)=i^2\,t\,e^{it} = - t e^{it}.
Portanto
\oint_{C}\log z\,dz = -\int_{0}^{2\pi} t e^{it}\,dt.
Passo 5
Calculamos I=\int_{0}^{2\pi} t e^{it}\,dt por integração por partes. Tome u=t e dv=e^{it}dt. Então du=dt e v=\dfrac{e^{it}}{i}. Assim
I = \left.\frac{t e^{it}}{i}\right|_{0}^{2\pi} - \int_{0}^{2\pi}\frac{e^{it}}{i}\,dt.
A segunda integral é \dfrac{1}{i}\int_{0}^{2\pi}e^{it}dt = \dfrac{1}{i}\big[ e^{it}\big]_{0}^{2\pi} = \dfrac{1}{i}(1-1)=0. Então
I = \frac{2\pi e^{i2\pi}}{i} - 0 = \frac{2\pi}{i}.
Passo 6
Voltando à integral original:
\oint_{C}\log z\,dz = -I = -\frac{2\pi}{i}.
Multiplicando numerador e denominador por i (ou usando -1/i = i), obtemos
-\frac{2\pi}{i}=2\pi i.
Passo 7
Comentário intuitivo curto (opcional, para fixar): uma outra maneira é notar que a função
F(z)=z\log z - z
satisfaz F'(z)=\log z onde \log z é tomada de forma contínua. Como \log z aumenta em 2\pi i ao dar uma volta completa, o valor de F muda por z_0(2\pi i) entre início e fim; para o círculo unitário com ponto inicial z_0=1 isso dá 2\pi i. Isso coincide com o cálculo direto acima. Bora que tá certinho — você conseguiu!