Sejam F e f funções analíticas numa região simplesmente conexa contendo um contorno C, e tais que
'. Use as equações de Cauchy-Riemann, a definição de integral sobre um arco e a definição de integral curvilínea para provar que
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos foi dado:
- Foi dado que
e são funções analíticas numa região simplesmente conexa que contém um contorno . - Foi dado que
(isto é, é uma primitiva de ). - O contorno
é um arco orientado que liga o ponto inicial ao ponto final . (Assim, se parametrizarmos por com , teremos e .) - O que devemos provar é a igualdade
Passo 2
Parametrização do contorno e definição da integral curvilínea:
- Parametrize o contorno
por uma função contínua e derivável , com , e , . - A definição da integral de uma função complexa ao longo de um arco (integral curvilínea) é
Expliquei isto porque o enunciado pediu explicitamente usar a definição de integral sobre um arco/curvilínea.
Passo 3
Escrever as funções em partes reais e aplicar as equações de Cauchy–Riemann:
- Escrevemos a primitiva
em partes real e imaginária:
onde
e
são funções reais de
.
- Como
, escrevemos também
- Para
analítica, as equações de Cauchy–Riemann valem:
- Além disso, a derivada complexa de
pode ser escrita em termos das derivadas parciais reais como
Por hipótese esta é exatamente
, então
e
. As igualdades de Cauchy–Riemann serão usadas para relacionar as derivadas parciais quando aplicarmos a regra da cadeia.
Passo 4
Aplicar a regra da cadeia para a função composta
:
- Considere a função real
. Pela regra da cadeia (aplicada às componentes reais e imaginárias), sua derivada é
- Reagrupando em termos de
e obtemos
Passo 5
Mostrar que
usando as equações de Cauchy–Riemann:
- Calcule o produto
. Como e , temos
- Expandindo o produto:
- Compare com a expressão de
do Passo 4, cuja parte real é e parte imaginária é . - Usando as equações de Cauchy–Riemann
e , substituímos e e vemos que as partes real e imaginária coincidem com as do produto acima. Assim concluímos ponto a ponto (para cada )
- Como
pela hipótese , isto é
Passo 6
Integrar em
e aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo (versão real):
- Integre ambos os lados em
de a :
- O lado esquerdo é simplesmente a diferença de valores de
pelos limites (Teorema Fundamental do Cálculo):
- Pelo Passo 2 a integral do lado direito é exatamente a integral curvilínea de
sobre :
Passo 7
Concluir a igualdade pedida:
- Unindo os resultados do Passo 6 obtemos
que é exatamente o que se queria demonstrar.