Sejam F e f funções analíticas numa região simplesmente conexa contendo um contorno C, e tais que \mathrm{f}=\mathrm{F} '. Use as equações de Cauchy-Riemann, a definição de integral sobre um arco e a definição de integral curvilínea para provar que
\int_{C} f(z) d z=\mathrm{F}\left(\mathrm{z}_{2}\right)-\mathrm{F}\left(\mathrm{z}_{1}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado:
  • Foi dado que F e f são funções analíticas numa região simplesmente conexa que contém um contorno C.
  • Foi dado que f=\;F' (isto é, F é uma primitiva de f).
  • O contorno C é um arco orientado que liga o ponto inicial \;z_{1}\; ao ponto final \;z_{2}\;. (Assim, se parametrizarmos C por z(t) com t\in[a,b], teremos z(a)=z_{1} e z(b)=z_{2}.)
  • O que devemos provar é a igualdade
\int_{C} f(z)\,dz=F\left(z_{2}\right)-F\left(z_{1}\right).

Passo 2

Parametrização do contorno e definição da integral curvilínea:
  • Parametrize o contorno C por uma função contínua e derivável \;z:[a,b]\to\mathbb{C}, com \;z(t)=x(t)+i\,y(t), e \;z(a)=z_{1}, \;z(b)=z_{2}.
  • A definição da integral de uma função complexa ao longo de um arco (integral curvilínea) é
\int_{C} f(z)\,dz \;=\; \int_{a}^{b} f\big(z(t)\big)\,z'(t)\,dt.
Expliquei isto porque o enunciado pediu explicitamente usar a definição de integral sobre um arco/curvilínea.

Passo 3

Escrever as funções em partes reais e aplicar as equações de Cauchy–Riemann:
  • Escrevemos a primitiva F em partes real e imaginária:
F(z)=U(x,y)+i\,V(x,y),
onde U e V são funções reais de (x,y).
  • Como f=F', escrevemos também
f(z)=u(x,y)+i\,v(x,y)=F'(z).
  • Para F analítica, as equações de Cauchy–Riemann valem:
U_x=V_y,\qquad U_y=-V_x.
  • Além disso, a derivada complexa de F pode ser escrita em termos das derivadas parciais reais como
F'(z)=U_x+i\,V_x.
Por hipótese esta é exatamente f(z)=u+i v, então u=U_x e v=V_x. As igualdades de Cauchy–Riemann serão usadas para relacionar as derivadas parciais quando aplicarmos a regra da cadeia.

Passo 4

Aplicar a regra da cadeia para a função composta t\mapsto F(z(t)):
  • Considere a função real t\mapsto F\big(z(t)\big). Pela regra da cadeia (aplicada às componentes reais e imaginárias), sua derivada é
\frac{d}{dt}F\big(z(t)\big) =U_x(x(t),y(t))\,x'(t)+U_y(x(t),y(t))\,y'(t) +i\Big(V_x(x(t),y(t))\,x'(t)+V_y(x(t),y(t))\,y'(t)\Big).
  • Reagrupando em termos de x'(t) e y'(t) obtemos
\frac{d}{dt}F\big(z(t)\big) =\big(U_x+iV_x\big)\,x'(t)+\big(U_y+iV_y\big)\,y'(t).

Passo 5

Mostrar que \dfrac{d}{dt}F\big(z(t)\big)=F'(z(t))\,z'(t) usando as equações de Cauchy–Riemann:
  • Calcule o produto F'(z(t))\,z'(t). Como F'(z)=U_x+iV_x e z'(t)=x'(t)+i y'(t), temos
F'(z(t))\,z'(t) =\big(U_x+iV_x\big)\big(x'(t)+i y'(t)\big).
  • Expandindo o produto:
F'(z(t))\,z'(t) =\big(U_x x'(t)-V_x y'(t)\big) +i\big(V_x x'(t)+U_x y'(t)\big).
  • Compare com a expressão de \dfrac{d}{dt}F\big(z(t)\big) do Passo 4, cuja parte real é U_x x'+U_y y' e parte imaginária é V_x x'+V_y y'.
  • Usando as equações de Cauchy–Riemann U_y=-V_x e V_y=U_x, substituímos U_y e V_y e vemos que as partes real e imaginária coincidem com as do produto acima. Assim concluímos ponto a ponto (para cada t\in[a,b])
\frac{d}{dt}F\big(z(t)\big)=F'(z(t))\,z'(t).
  • Como F'(z(t))=f(z(t)) pela hipótese f=F', isto é
\frac{d}{dt}F\big(z(t)\big)=f\big(z(t)\big)\,z'(t).

Passo 6

Integrar em t e aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo (versão real):
  • Integre ambos os lados em t de a a b:
\int_{a}^{b}\frac{d}{dt}F\big(z(t)\big)\,dt =\int_{a}^{b} f\big(z(t)\big)\,z'(t)\,dt.
  • O lado esquerdo é simplesmente a diferença de valores de F pelos limites (Teorema Fundamental do Cálculo):
\int_{a}^{b}\frac{d}{dt}F\big(z(t)\big)\,dt = F\big(z(b)\big)-F\big(z(a)\big)=F(z_{2})-F(z_{1}).
  • Pelo Passo 2 a integral do lado direito é exatamente a integral curvilínea de f sobre C:
\int_{a}^{b} f\big(z(t)\big)\,z'(t)\,dt=\int_{C} f(z)\,dz.

Passo 7

Concluir a igualdade pedida:
  • Unindo os resultados do Passo 6 obtemos
\int_{C} f(z)\,dz = F\big(z_{2}\big)-F\big(z_{1}\big),
que é exatamente o que se queria demonstrar.

Resposta

\int_{C} f(z)\,dz=F\left(z_{2}\right)-F\left(z_{1}\right)

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