Efetuar:
\left(\frac{1}{3}+\mathrm{i}\right)\left(\frac{1}{2}-2 \mathrm{i}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto entre dois números complexos. As informações dadas são:
z_1 = \frac{1}{3} + \mathrm{i}
z_2 = \frac{1}{2} - 2\mathrm{i}
A tarefa é encontrar z_1 z_2.

Passo 2

Vamos usar a propriedade distributiva (o “FOIL” para dois binômios). A regra é:
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd.
Também lembramos que \mathrm{i} é a unidade imaginária e satisfaz
\mathrm{i}^2=-1.
Isso vai transformar qualquer produto \mathrm{i}\cdot\mathrm{i} em um número real.

Passo 3

Aplicando a distributiva em \left(\frac{1}{3}+\mathrm{i}\right)\left(\frac{1}{2}-2\mathrm{i}\right) obtemos quatro termos:
\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2},\quad \frac{1}{3}\cdot(-2\mathrm{i}),\quad \mathrm{i}\cdot\frac{1}{2},\quad \mathrm{i}\cdot(-2\mathrm{i}).

Passo 4

Calculando cada termo separadamente:
\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{6},
\frac{1}{3}\cdot(-2\mathrm{i})=-\frac{2}{3}\mathrm{i},
\mathrm{i}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\mathrm{i},
\mathrm{i}\cdot(-2\mathrm{i})=-2\mathrm{i}^2=-2(-1)=2.
Observe que o último termo virou um número real por causa de \mathrm{i}^2=-1.

Passo 5

Agora somamos os termos reais e os termos imaginários separadamente. Termos reais:
\frac{1}{6}+2=\frac{1}{6}+\frac{12}{6}=\frac{13}{6}.
Termos imaginários:
-\frac{2}{3}\mathrm{i}+\frac{1}{2}\mathrm{i}=\left(-\frac{2}{3}+\frac{1}{2}\right)\mathrm{i}.
Para somar as frações usamos denominador comum 6:
-\frac{2}{3}+\frac{1}{2}=-\frac{4}{6}+\frac{3}{6}=-\frac{1}{6}.
Logo a parte imaginária é -\frac{1}{6}\mathrm{i}.

Passo 6

Juntando as partes real e imaginária, o produto é
\frac{13}{6}-\frac{1}{6}\mathrm{i}.
(Alternativamente pode-se escrever \frac{1}{6}\bigl(13-\mathrm{i}\bigr).)

Resposta

\frac{13}{6}-\frac{1}{6}\mathrm{i}

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