Efetuar a passagem do sistema cilíndrico para o sistema cartesiano.
rho^2 sen 2 theta=2 z^2

Passo 1

O enunciado pede para converter a superfície dada em coordenadas cilíndricas
rho^2,sin(2theta)=2,z^2
para coordenadas cartesianas. Vamos usar as relações
;x=rhocostheta,;y=rhosintheta,;z=z; e a identidade trigonométrica
sin(2theta)=2sinthetacostheta.

Passo 2

Aplicando a identidade sin(2theta)=2sinthetacostheta e substituindo
sintheta=y/rho e costheta=x/rho, temos
rho^2,sin(2theta) =rho^2l(2sinthetacosthetar) =2,rho^2,yrho,xrho =2,x,y

Passo 3

Substituindo o resultado na equação original em cilíndricas, obtemos
2,x,y ;=;2,z^2 Longrightarrow x,y = z^2

Resposta

A equação em coordenadas cartesianas é
xy = z^2

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