Num triângulo A B C, sejam M, N, P, os pontos médios dos lados A B, B C e A C, respectivamente. Mostre que
AN+BP+CM=0
Sugestão: Exercício Resolvido no 2.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de geometria envolvendo vetores em um triângulo. Temos um triângulo ABC com pontos médios M, N e P nos lados AB, BC e AC, respectivamente. Precisamos mostrar que a soma dos vetores AN, BP e CM resulta no vetor nulo, ou seja:
AN + BP + CM = 0
Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores e propriedades dos pontos médios em um triângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa cada vetor mencionado. O vetor AN vai do ponto A até o ponto N, que é o ponto médio de BC. Isso significa que N divide o lado BC em duas partes iguais. Similarmente, BP vai de B até P, o ponto médio de AC, e CM vai de C até M, o ponto médio de AB.

Passo 3

Como M, N e P são pontos médios, podemos expressar as coordenadas desses pontos em termos dos vértices do triângulo. Se considerarmos os vetores posição dos pontos A, B e C como A, B e C, respectivamente, então:
M = A + B2, N = B + C2, P = A + C2

Passo 4

Agora, vamos expressar cada vetor da soma em termos dos vetores posição:
AN = N - A = B + C2 - A
BP = P - B = A + C2 - B
CM = M - C = A + B2 - C

Passo 5

Vamos somar os três vetores:
AN + BP + CM = ( B + C2 - A ) + ( A + C2 - B ) + ( A + B2 - C )
Simplificando os termos:
= B2 + C2 - A + A2 + C2 - B + A2 + B2 - C

Passo 6

Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
= ( -A + A2 + A2 ) + ( B2 - B + B2 ) + ( C2 + C2 - C )
Simplificando cada grupo:
= ( -A + A ) + ( 0 ) + ( 0 ) = 0

Resposta

Portanto, mostramos que:
AN + BP + CM = 0

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