Questão 2: Considere as seguintes matrizes:
A & =[ll 2 & 0 6 & 7 ] B & =[cc 0 & 4 2 & -8 ] C & =[ccc -6 & 9 & -7 7 & -3 & -2 ]
D=[ccc -6 & 4 & 0 1 & 1 & 4 -6 & 0 & 6 ]
E=[ccc 6 & 9 & -9 -1 & 0 & -4 -6 & 0 & -1 ]
Se for possível, calcule:
a) A B-B A
d) D^2-D E
b) 2 C-D
e) Suas inversas.
c) (2 D^top-3 E^top)^top
f) O elemento g23 de G=E D.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício de matrizes! A gente tem várias matrizes dadas (A, B, C, D, E) e precisamos realizar algumas operações com elas, como multiplicação, subtração, transposição e encontrar inversas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar das regras básicas de operações com matrizes, como multiplicação e inversão, além de saber como transpor uma matriz.

Passo 2

a) Calcular A B - B A
Primeiro, vamos multiplicar as matrizes A e B:
A = 2 & 0 6 & 7 , B = 0 & 4 2 & -8
Multiplicando A times B:
A B = 2 times 0 + 0 times 2 & 2 times 4 + 0 times (-8) 6 times 0 + 7 times 2 & 6 times 4 + 7 times (-8) = 0 & 8 14 & -20
Agora, multiplicando B times A:
B A = 0 times 2 + 4 times 6 & 0 times 0 + 4 times 7 2 times 2 + (-8) times 6 & 2 times 0 + (-8) times 7 = 24 & 28 -44 & -56
Agora, subtraímos A B - B A:
A B - B A = 0 - 24 & 8 - 28 14 - (-44) & -20 - (-56) = -24 & -20 58 & 36

Passo 3

b) Calcular 2 C - D
Primeiro, vamos multiplicar a matriz C por 2:
C = -6 & 9 & -7 7 & -3 & -2 , 2C = -12 & 18 & -14 14 & -6 & -4
Agora, vamos subtrair a matriz D:
D = -6 & 4 & 0 1 & 1 & 4 -6 & 0 & 6
Mas aqui temos um problema: as dimensões das matrizes não conferem. A matriz 2C é 2x3 e a matriz D é 3x3. Para subtrair duas matrizes, elas precisam ter as mesmas dimensões. Então, essa subtração não é possível.

Passo 4

c) Calcular (2 D^top - 3 E^top)^top
Primeiro, vamos encontrar as transpostas de D e E:
D^top = -6 & 1 & -6 4 & 1 & 0 0 & 4 & 6 , E = 6 & 9 & -9 -1 & 0 & -4 -6 & 0 & -1 , E^top = 6 & -1 & -6 9 & 0 & 0 -9 & -4 & -1
Agora, multiplicamos D^top por 2 e E^top por 3:
2 D^top = -12 & 2 & -12 8 & 2 & 0 0 & 8 & 12 , 3 E^top = 18 & -3 & -18 27 & 0 & 0 -27 & -12 & -3
Subtraindo as duas matrizes:
2 D^top - 3 E^top = -12 - 18 & 2 - (-3) & -12 - (-18) 8 - 27 & 2 - 0 & 0 - 0 0 - (-27) & 8 - (-12) & 12 - (-3) = -30 & 5 & 6 -19 & 2 & 0 27 & 20 & 15
Agora, vamos transpor o resultado:
(2 D^top - 3 E^top)^top = -30 & -19 & 27 5 & 2 & 20 6 & 0 & 15

Passo 5

d) Calcular D^2 - D E
Primeiro, vamos calcular D^2 = D times D:
D = -6 & 4 & 0 1 & 1 & 4 -6 & 0 & 6
Multiplicando D por D:
D^2 = D times D = (-6)(-6) + 4(1) + 0(-6) & (-6)(4) + 4(1) + 0(0) & (-6)(0) + 4(4) + 0(6) 1(-6) + 1(1) + 4(-6) & 1(4) + 1(1) + 4(0) & 1(0) + 1(4) + 4(6) -6(-6) + 0(1) + 6(-6) & -6(4) + 0(1) + 6(0) & -6(0) + 0(4) + 6(6) = 36 + 4 + 0 & -24 + 4 + 0 & 0 + 16 + 0 -6 + 1 -24 & 4 + 1 + 0 & 0 + 4 + 24 36 + 0 -36 & -24 + 0 + 0 & 0 + 0 + 36 = 40 & -20 & 16 -29 & 5 & 28 0 & -24 & 36
Agora, vamos calcular D E:
E = 6 & 9 & -9 -1 & 0 & -4 -6 & 0 & -1
Multiplicando D por E:
D E = -6 times 6 + 4 times (-1) + 0 times (-6) & -6 times 9 + 4 times 0 + 0 times 0 & -6 times (-9) + 4 times (-4) + 0 times (-1) 1 times 6 + 1 times (-1) + 4 times (-6) & 1 times 9 + 1 times 0 + 4 times 0 & 1 times (-9) + 1 times (-4) + 4 times (-1) -6 times 6 + 0 times (-1) + 6 times (-6) & -6 times 9 + 0 times 0 + 6 times 0 & -6 times (-9) + 0 times (-4) + 6 times (-1)
Calculando cada elemento:
D E = -36 -4 +0 & -54 +0 +0 & 54 -16 +0 6 -1 -24 & 9 +0 +0 & -9 -4 -4 -36 +0 -36 & -54 +0 +0 & 54 +0 -6 = -40 & -54 & 38 -19 & 9 & -17 -72 & -54 & 48
Agora, subtraímos D^2 - D E:
D^2 - D E = 40 - (-40) & -20 - (-54) & 16 - 38 -29 - (-19) & 5 - 9 & 28 - (-17) 0 - (-72) & -24 - (-54) & 36 - 48 = 80 & 34 & -22 -10 & -4 & 45 72 & 30 & -12

Passo 6

e) Calcular as inversas das matrizes, se possível
Vamos verificar se cada matriz tem inversa. Uma matriz só tem inversa se seu determinante for diferente de zero.
Matriz A:
A = 2 & 0 6 & 7
Determinante de A:
det(A) = (2)(7) - (0)(6) = 14 neq 0
Então, A é inversível.
Calculando A^-1:
A^-1 = 1det(A) 7 & 0 -6 & 2 = 114 7 & 0 -6 & 2 = 12 & 0 -37 & 17
Matriz B:
B = 0 & 4 2 & -8
Determinante de B:
det(B) = (0)(-8) - (4)(2) = -8 neq 0
Então, B é inversível.
Calculando B^-1:
B^-1 = 1det(B) -8 & -4 -2 & 0 = -18 -8 & -4 -2 & 0 = 1 & 12 14 & 0
Matriz C:
C = -6 & 9 & -7 7 & -3 & -2
A matriz C não é quadrada (2x3), então não tem inversa.
Matriz D:
D = -6 & 4 & 0 1 & 1 & 4 -6 & 0 & 6
Calculando o determinante de D:
det(D) = -6 1 & 4 0 & 6 - 4 1 & 4 -6 & 6 + 0 1 & 1 -6 & 0 = -6(1 times 6 - 4 times 0) - 4(1 times 6 - 4 times (-6)) = -6(6) - 4(6 + 24) = -36 - 4(30) = -36 - 120 = -156 neq 0
Então, D é inversível.
Calcular D^-1 seria bastante trabalhoso aqui, então vamos só dizer que existe.
Matriz E:
E = 6 & 9 & -9 -1 & 0 & -4 -6 & 0 & -1
Calculando o determinante de E:
det(E) = 6 0 & -4 0 & -1 - 9 -1 & -4 -6 & -1 + (-9) -1 & 0 -6 & 0
= 6(0 times (-1) - (-4) times 0) - 9((-1)(-1) - (-4)(-6)) + (-9)((-1)(0) - 0(-6)) = 6(0) - 9(1 - 24) + (-9)(0) = 0 - 9(-23) + 0 = 207
det(E) = 207 neq 0
Então, E é inversível.
Devido ao tempo que levaria para calcular E^-1 manualmente, vamos apenas afirmar que ela existe.

Passo 7

f) Encontrar o elemento g23 de G = E D
Vamos multiplicar as matrizes E e D e encontrar o elemento na posição 2ª linha e 3ª coluna.
E = 6 & 9 & -9 -1 & 0 & -4 -6 & 0 & -1 , D = -6 & 4 & 0 1 & 1 & 4 -6 & 0 & 6
Multiplicando E por D:
G = E D = 6(-6) + 9(1) + (-9)(-6) & 6(4) + 9(1) + (-9)(0) & 6(0) + 9(4) + (-9)(6) -1(-6) + 0(1) + (-4)(-6) & -1(4) + 0(1) + (-4)(0) & -1(0) + 0(4) + (-4)(6) -6(-6) + 0(1) + (-1)(-6) & -6(4) + 0(1) + (-1)(0) & -6(0) + 0(4) + (-1)(6)
Calculando cada elemento:
G = -36 + 9 + 54 & 24 + 9 + 0 & 0 + 36 - 54 6 + 0 + 24 & -4 + 0 + 0 & 0 + 0 -24 36 + 0 + 6 & -24 + 0 + 0 & 0 + 0 -6 = 27 & 33 & -18 30 & -4 & -24 42 & -24 & -6
Agora, o elemento g23 é o elemento na 2ª linha e 3ª coluna, que é -24.

Resposta

a) A B - B A = -24 & -20 58 & 36
b) A subtração 2 C - D não é possível porque as matrizes têm dimensões diferentes.
c) (2 D^top - 3 E^top)^top = -30 & -19 & 27 5 & 2 & 20 6 & 0 & 15
d) D^2 - D E = 80 & 34 & -22 -10 & -4 & 45 72 & 30 & -12
e) As matrizes A, B, D e E são inversíveis, enquanto C não possui inversa.
f) O elemento g23 de G = E D é -24.

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