Se \vec{u}=3 \vec{i}-\vec{j}-2 \vec{k}, \vec{v}=2 \vec{i}+4 \vec{j}-\vec{k} e \vec{w}=-\vec{i}+2 \vec{k}, determinar:
(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot(\vec{w} \times \vec{v})

Passo 1

O enunciado pede para calcular o escalar (\vec{u}\times\vec{v})\cdot(\vec{w}\times\vec{v}). As informações dadas são os vetores:
\vec{u}=3\vec{i}-\vec{j}-2\vec{k},
\vec{v}=2\vec{i}+4\vec{j}-\vec{k},
\vec{w}=-\vec{i}+2\vec{k}.
Ou seja, em coordenadas cartesianas (componente x,y,z):
\vec{u}=(3,\,-1,\,-2),\qquad \vec{v}=(2,\,4,\,-1),\qquad \vec{w}=(-1,\,0,\,2).
O que precisamos retornar é um número: o valor do produto escalar entre \vec{u}\times\vec{v} e \vec{w}\times\vec{v}.

Passo 2

Escolho usar uma identidade vetorial que torna a conta muito mais rápida do que calcular dois produtos vetoriais e depois o produto escalar. A identidade é a seguinte (uma identidade padrão em álgebra vetorial):
(\vec{a}\times\vec{b})\cdot(\vec{c}\times\vec{d})=(\vec{a}\cdot\vec{c})(\vec{b}\cdot\vec{d})-(\vec{a}\cdot\vec{d})(\vec{b}\cdot\vec{c}).
Aqui \vec{a},\vec{b},\vec{c},\vec{d} são quaisquer vetores. Na nossa expressão, basta mapear \vec{a}=\vec{u},\\ \vec{b}=\vec{v},\\ \vec{c}=\vec{w},\\ \vec{d}=\vec{v}. A vantagem é que essa identidade transforma o problema em calcular apenas produtos escalares (dot products), que são somas simples de produtos de componentes.
Explicação curta do que cada operação significa:
  • O produto escalar \vec{x}\cdot\vec{y} é o número obtido por multiplicar componente a componente e somar: se \vec{x}=(x_1,x_2,x_3) e \vec{y}=(y_1,y_2,y_3), então \vec{x}\cdot\vec{y}=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3.
  • O produto vetorial \vec{x}\times\vec{y} é um vetor perpendicular a \vec{x} e \vec{y}; seu cálculo por componentes é mais trabalhoso, por isso evitamos fazê-lo duas vezes se existe a identidade acima.

Passo 3

Aplicando a identidade ao nosso caso obtemos:
(\vec{u}\times\vec{v})\cdot(\vec{w}\times\vec{v})=(\vec{u}\cdot\vec{w})(\vec{v}\cdot\vec{v})-(\vec{u}\cdot\vec{v})(\vec{w}\cdot\vec{v}).
Agora vamos calcular cada produto escalar que aparece na expressão da direita.

Passo 4

Calcular \vec{u}\cdot\vec{w}. Usando as componentes \vec{u}=(3,-1,-2) e \vec{w}=(-1,0,2):
\vec{u}\cdot\vec{w}=3\cdot(-1)+(-1)\cdot 0+(-2)\cdot 2 = -3+0-4 = -7.

Passo 5

Calcular \vec{v}\cdot\vec{v} (isso é o quadrado da norma de \vec{v}). Com \vec{v}=(2,4,-1):
\vec{v}\cdot\vec{v}=2^2+4^2+(-1)^2=4+16+1=21.

Passo 6

Calcular \vec{u}\cdot\vec{v}. Com \vec{u}=(3,-1,-2) e \vec{v}=(2,4,-1):
\vec{u}\cdot\vec{v}=3\cdot 2 + (-1)\cdot 4 + (-2)\cdot(-1) = 6-4+2 = 4.

Passo 7

Calcular \vec{w}\cdot\vec{v}. Com \vec{w}=(-1,0,2) e \vec{v}=(2,4,-1):
\vec{w}\cdot\vec{v}=(-1)\cdot 2 + 0\cdot 4 + 2\cdot(-1) = -2+0-2 = -4.

Passo 8

Agora substituímos todos os valores na fórmula do Passo 3:
(\vec{u}\times\vec{v})\cdot(\vec{w}\times\vec{v})=(\vec{u}\cdot\vec{w})(\vec{v}\cdot\vec{v})-(\vec{u}\cdot\vec{v})(\vec{w}\cdot\vec{v}).
Substituindo números:
(\vec{u}\times\vec{v})\cdot(\vec{w}\times\vec{v}) = (-7)\cdot 21 - 4\cdot(-4).
Calculemos:
(-7)\cdot 21 = -147,\qquad 4\cdot(-4)=-16,
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-147 - (-16) = -147 + 16 = -131.

Resposta

-131

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