Se
e
, determinar:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o escalar
. As informações dadas são os vetores:
Ou seja, em coordenadas cartesianas (componente
):
O que precisamos retornar é um número: o valor do produto escalar entre
e
.
Passo 2
Escolho usar uma identidade vetorial que torna a conta muito mais rápida do que calcular dois produtos vetoriais e depois o produto escalar. A identidade é a seguinte (uma identidade padrão em álgebra vetorial):
Aqui
são quaisquer vetores. Na nossa expressão, basta mapear
. A vantagem é que essa identidade transforma o problema em calcular apenas produtos escalares (dot products), que são somas simples de produtos de componentes.
Explicação curta do que cada operação significa:
- O produto escalar
é o número obtido por multiplicar componente a componente e somar: se e , então . - O produto vetorial
é um vetor perpendicular a e ; seu cálculo por componentes é mais trabalhoso, por isso evitamos fazê-lo duas vezes se existe a identidade acima.
Passo 3
Aplicando a identidade ao nosso caso obtemos:
Agora vamos calcular cada produto escalar que aparece na expressão da direita.
Passo 4
Calcular
. Usando as componentes
e
:
Passo 5
Calcular
(isso é o quadrado da norma de
). Com
:
Passo 6
Calcular
. Com
e
:
Passo 7
Calcular
. Com
e
:
Passo 8
Agora substituímos todos os valores na fórmula do Passo 3:
Substituindo números:
Calculemos:
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